ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) \(\frac{5y — 8}{11}\);
б) \(\frac{25}{y — 9}\);
в) \(\frac{y^2 + 1}{y^2 — 2y}\);
г) \(\frac{y — 10}{y^2 + 3}\);
д) \(\frac{y}{y — 6} + \frac{15}{y + 6}\);
е) \(\frac{y — x + 1}{y + 7}\).

а) \(\frac{5y — 8}{11}\), \(y\) — любое число.

б) \(\frac{25}{y — 9}\), \(y — 9 \neq 0\), \(y \neq 9\).

в) \(\frac{y^2 + 1}{y^2 — 2y}\), \(y^2 — 2y \neq 0\), \(y(y — 2) \neq 0\), \(y \neq 0\) и \(y \neq 2\).

г) \(\frac{y — 10}{y^2 + 3}\), \(y\) — любое число.

д) \(\frac{y}{y — 6} + \frac{15}{y + 6}\), \(y \neq \pm 6\).

е) \(\frac{32}{y} — \frac{y + 1}{y + 7}\), \(y \neq 0\) и \(y + 7 \neq 0\), \(y \neq -7\).

а) Выражение \(\frac{5y — 8}{11}\) представляет собой дробь, в которой числитель — линейный многочлен \(5y — 8\), а знаменатель — число 11. Поскольку знаменатель — константа, не равная нулю, дробь определена при любом значении переменной \(y\). Это означает, что область определения функции — все действительные числа, то есть \(y\) может принимать любое значение.

Область определения не ограничивается никакими условиями, так как деление на 11 всегда возможно, и нет других операций, которые накладывали бы ограничения на \(y\). Таким образом, ответ: \(y\) — любое число.

б) В выражении \(\frac{25}{y — 9}\) знаменатель равен \(y — 9\). Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому необходимо исключить из области определения значение, при котором \(y — 9 = 0\), то есть \(y = 9\).

Таким образом, область определения — все числа, кроме \(y = 9\). Записываем это условие как \(y \neq 9\), что гарантирует, что знаменатель не будет равен нулю, и выражение будет иметь смысл.

в) Дробь \(\frac{y^2 + 1}{y^2 — 2y}\) имеет числитель \(y^2 + 1\), который всегда положителен и не равен нулю, так как \(y^2 \geq 0\) и прибавляется 1. Значит, числитель не накладывает ограничений на \(y\).

Знаменатель равен \(y^2 — 2y = y(y — 2)\). Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. Значит, необходимо исключить \(y = 0\) и \(y = 2\). Эти значения делают знаменатель равным нулю, что недопустимо.

Итог: область определения — все \(y\), кроме \(y = 0\) и \(y = 2\).

г) В выражении \(\frac{y — 10}{y^2 + 3}\) знаменатель — \(y^2 + 3\). Поскольку \(y^2 \geq 0\), минимальное значение \(y^2 + 3\) равно 3, что строго больше нуля для всех \(y\).

Это значит, что знаменатель никогда не равен нулю, и дробь определена при всех значениях \(y\). Следовательно, область определения — все действительные числа.

д) Сумма двух дробей \(\frac{y}{y — 6} + \frac{15}{y + 6}\) имеет два знаменателя: \(y — 6\) и \(y + 6\). Чтобы выражение имело смысл, оба знаменателя не должны равняться нулю.

Отсюда исключаем \(y = 6\) и \(y = -6\). Эти значения запрещены, так как при них происходит деление на ноль.

Область определения — все \(y\), кроме \(y = \pm 6\).

е) Выражение \(\frac{32}{y} — \frac{y + 1}{y + 7}\) содержит два знаменателя: \(y\) и \(y + 7\). Для корректности выражения необходимо, чтобы ни один из них не был равен нулю.

Исключаем \(y = 0\) и \(y = -7\) из области определения, так как при этих значениях происходит деление на ноль.

Область определения — все \(y\), кроме \(y = 0\) и \(y = -7\).