ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 120 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Зная, что \(a — \frac{5}{a} = 2\), найдите значение выражения \(a^2 + \frac{25}{a^2}\).

\(a — \frac{5}{a} = 2\)

\(\left(a — \frac{5}{a}\right)^2 = 2^2\)

\(a^2 — 2a \cdot \frac{5}{a} + \frac{25}{a^2} = 4\)

\(a^2 — 10 + \frac{25}{a^2} — 4 = 0\)

\(a^2 — 14 + \frac{25}{a^2} = 0\)

\(a^2 + \frac{25}{a^2} = 14\)

Ответ: 14.

Рассмотрим уравнение \(a — \frac{5}{a} = 2\). Это уравнение с переменной \(a\), где присутствует как сама переменная, так и её обратная величина в виде дроби. Чтобы упростить выражение и избавиться от дроби, возьмём квадрат обеих частей уравнения. Это позволит получить уравнение, содержащее только степени \(a\), что удобно для дальнейшего решения. Таким образом, возводим в квадрат левую и правую части: \(\left(a — \frac{5}{a}\right)^2 = 2^2\).

Раскроем квадрат разности по формуле \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), где \(x = a\), а \(y = \frac{5}{a}\). Получаем: \(a^2 — 2 \cdot a \cdot \frac{5}{a} + \left(\frac{5}{a}\right)^2 = 4\). Упростим выражение: в среднем слагаемом \(a\) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся \(-2 \cdot 5 = -10\), а в последнем слагаемом получаем \(\frac{25}{a^2}\). Итоговое уравнение принимает вид \(a^2 — 10 + \frac{25}{a^2} = 4\).

Далее перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения для удобства: \(a^2 — 10 + \frac{25}{a^2} — 4 = 0\). Объединим константы: \(-10 — 4 = -14\), получая \(a^2 — 14 + \frac{25}{a^2} = 0\). Переносим \(-14\) вправо, меняя знак, и записываем уравнение в форме \(a^2 + \frac{25}{a^2} = 14\). Это выражение является искомым и показывает сумму квадрата \(a\) и квадрата обратного числа \(\frac{5}{a}\). Ответ: 14.