ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 121 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение:
а) \(\frac{x^2 — xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x}\);
б) \(\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9}\);
в) \(\frac{m — n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn — m^2}\);
г) \(\frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab}\);
д) \(\frac{ma — mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb — na}\);
е) \(\frac{ax — ay}{5x^2 y^2} \cdot \left(-\frac{5xy}{by — bx}\right)\).

а) \(\frac{x^2 — xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x(x-y) \cdot y^2}{y \cdot x} = \frac{(x-y) \cdot y}{1} = xy — y^2\)

б) \(\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9} = \frac{3a \cdot b(a+b)}{b^2 \cdot 9} = \frac{a(a+b)}{b \cdot 3} = \frac{a^2 + ab}{3b}\)

в) \(\frac{m — n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn — m^2} = \frac{(m-n) \cdot 2mn}{mn \cdot (-m)(m-n)} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}\)

г) \(\frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab} = \frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab} = \frac{2(a+b)}{c+d} = \frac{2a + 2b}{c+d}\)

д) \(\frac{ma — mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb — na} = \frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n)(a-b)} = \frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}\)

е) \(\frac{ax — ay}{5x^2 y^2} \cdot \left(-\frac{5xy}{by — bx}\right) = -\frac{a(x-y) \cdot 5xy}{5x^2 y^2 \cdot (-b)(x-y)} = \frac{a}{xy \cdot b} = \frac{a}{bxy}\)

а) В данном выражении мы имеем произведение двух дробей: \(\frac{x^2 — xy}{y}\) и \(\frac{y^2}{x}\). Чтобы упростить это выражение, сначала нужно представить числитель первой дроби в виде произведения: \(x^2 — xy = x(x-y)\). Теперь умножаем числители и знаменатели обеих дробей: числитель будет \(x(x-y) \cdot y^2\), а знаменатель — \(y \cdot x\). При этом \(x\) и \(y\) в числителе и знаменателе сокращаются, учитывая, что \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\). В итоге остается \(\frac{(x-y) \cdot y}{1}\), то есть просто \((x-y) \cdot y\).

Далее раскрываем скобки: \((x-y) \cdot y = xy — y^2\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(xy — y^2\), что и является окончательным результатом.

б) Здесь нам нужно перемножить две дроби: \(\frac{3a}{b^2}\) и \(\frac{ab + b^2}{9}\). Сначала представим числитель второй дроби как \(b(a+b)\), так как \(ab + b^2 = b(a+b)\). Теперь произведение числителей будет \(3a \cdot b(a+b)\), а знаменателей — \(b^2 \cdot 9\). Сокращаем \(b\) в числителе и знаменателе, так как \(b \neq 0\), получая \(\frac{3a(a+b)}{b \cdot 9}\).

Далее сокращаем числовой множитель: \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\), и итоговое выражение принимает вид \(\frac{a(a+b)}{3b}\). Раскрывая скобки в числителе, получаем \(\frac{a^2 + ab}{3b}\).

в) В этом примере нужно перемножить \(\frac{m-n}{mn}\) и \(\frac{2mn}{mn — m^2}\). Обратим внимание, что знаменатель второй дроби можно переписать как \(mn — m^2 = m(n — m) = -m(m — n)\). Подставляем это в выражение, получаем \(\frac{2mn}{-m(m-n)}\).

Теперь умножаем числители и знаменатели: \(\frac{(m-n) \cdot 2mn}{mn \cdot (-m)(m-n)}\). Сокращаем множители \(mn\) и \((m-n)\), так как \(m \neq 0\), \(n \neq 0\), и \(m \neq n\). В итоге остается \(\frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}\).

г) Здесь перемножаем \(\frac{4ab}{cx + dx}\) и \(\frac{ax + bx}{2ab}\). Сначала в числителе первой дроби выделяем общий множитель \(x\) в знаменателе: \(cx + dx = x(c + d)\). Во второй дроби в числителе выделяем \(x\): \(ax + bx = x(a + b)\).

Теперь произведение числителей равно \(4ab \cdot x(a+b)\), а знаменателей — \(x(c+d) \cdot 2ab\). Сокращаем множители \(x\) и \(ab\), так как они не равны нулю. Получаем \(\frac{4 \cdot (a+b)}{2 \cdot (c+d)} = \frac{2(a+b)}{c+d}\).

Раскрывая скобки в числителе, итоговое выражение становится \(\frac{2a + 2b}{c + d}\).

д) В данном случае перемножаются \(\frac{ma — mb}{3n^2}\) и \(\frac{2m}{nb — na}\). В знаменателе второй дроби выделяем общий множитель \(n\): \(nb — na = n(b — a) = -n(a — b)\).

Подставляем это в выражение и получаем \(\frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a-b)}\). Перемножая числители и знаменатели, получаем \(\frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n)(a-b)}\).

Сокращаем множитель \((a-b)\), так как \(a \neq b\). Итог получается \(\frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}\).

е) Рассмотрим произведение \(\frac{ax — ay}{5x^2 y^2}\) и \(-\frac{5xy}{by — bx}\). В числителе первой дроби выделяем общий множитель \(a\): \(ax — ay = a(x — y)\).

В знаменателе второй дроби выделяем \(-b\): \(by — bx = b(y — x) = -b(x — y)\).

Подставляем в выражение: \(\frac{a(x-y)}{5x^2 y^2} \cdot \frac{-5xy}{-b(x-y)}\).

Умножаем числители и знаменатели: \(-a(x-y) \cdot 5xy\) и \(5x^2 y^2 \cdot (-b)(x-y)\).

Сокращаем множители \(x-y\), \(5\), и \(xy\), учитывая, что \(x \neq y\), \(x \neq 0\), \(y \neq 0\), \(b \neq 0\).

В результате остается \(\frac{a}{bxy}\).