ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 122 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение:
а) \((3a — 15b) \cdot \frac{-8}{a^2 — 25b^2}\);
б) \((x^2 — 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}\);
в) \(\frac{y}{3y^2 — 12} \cdot (y^2 — 4y + 4)\);
г) \(\frac{2ab}{a^2 — 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 — 9b^2)\).

а) \((3a — 15b) \cdot \frac{8}{a^2 — 25b^2} = \frac{3(a — 5b) \cdot 8}{(a — 5b)(a + 5b)} = \frac{24}{a + 5b}\)

б) \((x^2 — 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2} = \frac{(x — 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)^2} = \frac{2x(x — 2)}{x + 2}\)

в) \(\frac{y}{3y^2 — 12} \cdot (y^2 — 4y + 4) = \frac{y \cdot (y — 2)^2}{3(y — 2)(y + 2)} = \frac{y(y — 2)}{3(y + 2)}\)

г) \(\frac{2ab}{a^2 — 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 — 9b^2) = \frac{2ab \cdot (a — 3b)(a + 3b)}{(a — 3b)^2} = \frac{2ab(a + 3b)}{a — 3b}\)

а) В данном выражении мы видим произведение двух дробей: \((3a — 15b)\) и \(\frac{8}{a^2 — 25b^2}\). Сначала заметим, что числитель первого множителя можно вынести за скобки общий множитель 3: \(3(a — 5b)\). В знаменателе второй дроби находится разность квадратов, которую раскладываем по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), получая \((a — 5b)(a + 5b)\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{3(a — 5b) \cdot 8}{(a — 5b)(a + 5b)}\).

Далее сокращаем общий множитель \((a — 5b)\) в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю. После сокращения остаётся \(\frac{3 \cdot 8}{a + 5b} = \frac{24}{a + 5b}\). Таким образом, упрощённое выражение — это дробь с числителем 24 и знаменателем \(a + 5b\).

б) В выражении \((x^2 — 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}\) сначала раскроем разность квадратов в первом множителе: \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\). Подставляем это в произведение, получая \(\frac{(x — 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)^2}\). Заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \((x + 2)\), который можно сократить.

После сокращения одной из степеней \((x + 2)\) в знаменателе и числителе остаётся \(\frac{2x(x — 2)}{x + 2}\). Здесь уже нельзя больше сокращать, поэтому это и есть упрощённый вид выражения.

в) Рассмотрим произведение \(\frac{y}{3y^2 — 12} \cdot (y^2 — 4y + 4)\). Сначала раскладываем знаменатель первой дроби: \(3y^2 — 12 = 3(y^2 — 4)\), а \(y^2 — 4 = (y — 2)(y + 2)\). Числитель второй дроби — полный квадрат: \(y^2 — 4y + 4 = (y — 2)^2\).

Подставляем эти разложения, получая \(\frac{y}{3(y — 2)(y + 2)} \cdot (y — 2)^2\). Объединяем в одну дробь: \(\frac{y (y — 2)^2}{3 (y — 2)(y + 2)}\). Сокращаем общий множитель \((y — 2)\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{y (y — 2)}{3 (y + 2)}\).

г) В выражении \(\frac{2ab}{a^2 — 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 — 9b^2)\) раскладываем знаменатель первой дроби как полный квадрат: \(a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2\). Второй множитель раскладываем как разность квадратов: \(a^2 — 9b^2 = (a — 3b)(a + 3b)\).

Подставляем в выражение: \(\frac{2ab}{(a — 3b)^2} \cdot (a — 3b)(a + 3b)\). Объединяем в одну дробь: \(\frac{2ab (a — 3b)(a + 3b)}{(a — 3b)^2}\). Сокращаем один множитель \((a — 3b)\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{2ab (a + 3b)}{a — 3b}\). Это и есть окончательный упрощённый вид выражения.