ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 123 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2 y^2}\);
б) \(\frac{6a}{x^2 — x} \cdot \frac{2x — 2}{3ax}\).

а) \(\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2 y^2} = \frac{xy \cdot a(1 + a)}{a^2(1 + a) \cdot x^2 y^2} = \frac{1}{axy}\)

б) \(\frac{6a}{x^2 — x} \cdot \frac{2x — 2}{3ax} = \frac{6a \cdot 2(x — 1)}{x(x — 1) \cdot 3ax} = \frac{2 \cdot 2}{x \cdot x} = \frac{4}{x^2}\)

а) В данном выражении сначала рассматриваем произведение двух дробей: \(\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2 y^2}\). Заметим, что в знаменателе первой дроби можно вынести общий множитель \(a^2\), так как \(a^2 + a^3 = a^2 (1 + a)\). Аналогично, в числителе второй дроби можно вынести \(a\): \(a + a^2 = a(1 + a)\). Тогда выражение становится \(\frac{xy}{a^2 (1 + a)} \cdot \frac{a (1 + a)}{x^2 y^2}\).

Далее сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель \(1 + a\) сокращается полностью, так как он есть и в числителе, и в знаменателе. Аналогично сокращаем \(a\) из числителя второй дроби и \(a^2\) из знаменателя первой дроби, оставляя в знаменателе \(a\). Также сокращаем \(x\) и \(y\): в числителе \(xy\), в знаменателе \(x^2 y^2\) — после сокращения останется \(x y\) в знаменателе. В итоге получаем \(\frac{1}{a x y}\).

б) Рассмотрим произведение \(\frac{6a}{x^2 — x} \cdot \frac{2x — 2}{3ax}\). В знаменателе первой дроби выделим общий множитель \(x\): \(x^2 — x = x(x — 1)\). Во второй дроби в числителе выделим общий множитель 2: \(2x — 2 = 2(x — 1)\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{6a}{x(x — 1)} \cdot \frac{2(x — 1)}{3ax}\).

Сокращаем множители \(a\) и \(x\), которые присутствуют и в числителе, и в знаменателе. Также сокращаем множитель \(x — 1\). После сокращений остаётся \(\frac{6 \cdot 2}{3 \cdot x} = \frac{12}{3 x} = \frac{4}{x}\). Однако в знаменателе первой дроби был ещё один \(x\), который не сократился, так как во второй дроби в знаменателе только один \(x\). В итоге полный знаменатель — \(x^2\), и окончательный ответ \(\frac{4}{x^2}\).