ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 124 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{y^2 — 16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y + 12}\);
б) \(\frac{b — a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2 — b^2}\).

а) \(\frac{y^2 — 16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y + 12} = \frac{(y — 4)(y + 4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3(y + 4)} = \frac{(y — 4) \cdot 5y}{2x \cdot 3} = \frac{y — 4}{6x}\)

б) \(\frac{b — a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2 — b^2} = \frac{-(a — b) \cdot 3ab}{a \cdot (a — b)(a + b)} = \frac{-3b}{a + b}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{y^2 — 16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y + 12}\). В числителе первой дроби видим разность квадратов \(y^2 — 16\), которую раскладываем по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Получаем \((y — 4)(y + 4)\). Во второй дроби знаменатель \(3y + 12\) можно вынести общий множитель 3: \(3(y + 4)\).

Теперь перепишем произведение с учетом разложения: \(\frac{(y — 4)(y + 4)}{10xy} \cdot \frac{5y}{3(y + 4)}\). В числителе и знаменателе сокращаем общий множитель \((y + 4)\), так как он присутствует и сверху, и снизу. Также в числителе умножаем \(5y\), а в знаменателе умножаем на \(10xy\) и 3.

После сокращения получаем \(\frac{(y — 4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3}\). В числителе и знаменателе сокращаем \(y\), в числителе \(5\), в знаменателе \(10\), что даёт \(\frac{y — 4}{6x}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{b — a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2 — b^2}\). В знаменателе второй дроби \(a^2 — b^2\) — разность квадратов, раскладываем как \((a — b)(a + b)\).

Перепишем выражение: \(\frac{b — a}{a} \cdot \frac{3ab}{(a — b)(a + b)}\). Обращаем внимание, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому заменяем \(b — a\) на \(-(a — b)\).

Получаем \(\frac{-(a — b)}{a} \cdot \frac{3ab}{(a — b)(a + b)}\). Сокращаем общий множитель \((a — b)\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{-3ab}{a(a + b)}\).

Далее сокращаем \(a\) в числителе и знаменателе, в результате получаем \(\frac{-3b}{a + b}\).