ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 125 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(\frac{a^2 — 1}{a — b} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 + a}\);
б) \(\frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 — 4c^2}\);
в) \(\frac{(x + 3)^2}{2x — 4} \cdot \frac{x^2 — 4}{3x + 9}\);
г) \(\frac{(5 — y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 — 36}{2y — 10}\).

а) \(\frac{a^2 — 1}{a — b} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 + a} = \frac{(a — 1)(a + 1) \cdot 7(a — b)}{(a — b) \cdot a(a + 1)} = \frac{(a — 1) \cdot 7}{a} = \frac{7a — 7}{a}\)

б) \(\frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 — 4c^2} = \frac{b(b + 2c) \cdot 5(b + 3)}{(b + 3) \cdot (b — 2c)(b + 2c)} = \frac{5b}{b — 2c}\)

в) \(\frac{(x + 3)^2}{2x — 4} \cdot \frac{x^2 — 4}{3x + 9} = \frac{(x + 3)^2 \cdot (x — 2)(x + 2)}{2(x — 2) \cdot 3(x + 3)} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{6}\)

г) \(\frac{(5 — y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 — 36}{2y — 10} = \frac{(5 — y)^2 \cdot (y — 6)(y + 6)}{2(y + 6) \cdot 2(y — 5)} = \frac{(y — 5)(y — 6)}{4}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{a^2 — 1}{a — b} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 + a}\). В числителе первой дроби видим разность квадратов \(a^2 — 1\), которую раскладываем по формуле: \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\). Аналогично, во второй дроби в числителе можно вынести общий множитель 7: \(7a — 7b = 7(a — b)\). В знаменателе первой дроби выражение оставляем без изменений, а во второй знаменатель раскладываем, выделяя общий множитель \(a\): \(a^2 + a = a(a + 1)\).

Далее подставляем разложения в исходное выражение: \(\frac{(a — 1)(a + 1)}{a — b} \cdot \frac{7(a — b)}{a(a + 1)}\). Теперь сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: \(a — b\) и \(a + 1\). После сокращения остаётся \(\frac{(a — 1) \cdot 7}{a}\). Раскрывая скобки в числителе, получаем \(7a — 7\), значит итоговое выражение равно \(\frac{7a — 7}{a}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 — 4c^2}\). В числителе первой дроби можно вынести общий множитель \(b\): \(b^2 + 2bc = b(b + 2c)\). Во второй дроби в числителе также выносим общий множитель 5: \(5b + 15 = 5(b + 3)\). В знаменателе второй дроби видим разность квадратов: \(b^2 — 4c^2 = (b — 2c)(b + 2c)\).

Подставляем разложения: \(\frac{b(b + 2c)}{b + 3} \cdot \frac{5(b + 3)}{(b — 2c)(b + 2c)}\). Сокращаем одинаковые множители \(b + 3\) и \(b + 2c\). После сокращения остаётся \(\frac{5b}{b — 2c}\).

в) В выражении \(\frac{(x + 3)^2}{2x — 4} \cdot \frac{x^2 — 4}{3x + 9}\) начинаем с разложения знаменателей и числителей. Знаменатель первой дроби раскладываем: \(2x — 4 = 2(x — 2)\). Числитель второй дроби — разность квадратов: \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\). Знаменатель второй дроби раскладываем, выделяя общий множитель 3: \(3x + 9 = 3(x + 3)\).

Подставляем полученные выражения: \(\frac{(x + 3)^2}{2(x — 2)} \cdot \frac{(x — 2)(x + 2)}{3(x + 3)}\). Сокращаем множители \(x — 2\) и \(x + 3\) (один из квадратов сокращается с одним множителем). В итоге остаётся \(\frac{(x + 3)(x + 2)}{6}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{(5 — y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 — 36}{2y — 10}\). В знаменателе первой дроби выделяем общий множитель 2: \(2y + 12 = 2(y + 6)\). Числитель второй дроби — разность квадратов: \(y^2 — 36 = (y — 6)(y + 6)\). В знаменателе второй дроби также выделяем 2: \(2y — 10 = 2(y — 5)\).

Подставляем: \(\frac{(5 — y)^2}{2(y + 6)} \cdot \frac{(y — 6)(y + 6)}{2(y — 5)}\). Сокращаем множители \(y + 6\). Преобразуем \((5 — y)^2 = (y — 5)^2\), учитывая знак, и сокращаем один множитель \(y — 5\). В итоге получаем \(\frac{(y — 5)(y — 6)}{4}\).