Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 126 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \(\frac{5mn — m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 — n^2}{5n — 1}\), если \(m = \frac{1}{4}\), \(n = -3\);
б) \(\frac{(x + 2)^2}{3x + 9} \cdot \frac{2x + 6}{x^2 — 4}\), если \(x = 0,5; -1,5\).
а) \(\frac{5mn — m}{4m + n} — \frac{16m^2 — n^2}{5n — 1} = \frac{m(5n — 1) \cdot (4m — n)(4m + n)}{(4m + n) \cdot (5n — 1)} = m(4m — n)\),
при \(m = \frac{1}{4}, n = -3\):
\(\frac{1}{4} \cdot \left(4 \cdot \frac{1}{4} — (-3)\right) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1.\)
б) \(\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2 — 4} = \frac{(x+2)^2 \cdot 2(x+3)}{3(x+3) \cdot (x-2)(x+2)} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)},\)
при \(x = 0,5\):
\(\frac{2 \cdot (0,5 + 2)}{3 \cdot (0,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}.\)
при \(x = -1,5\):
\(\frac{2 \cdot (-1,5 + 2)}{3 \cdot (-1,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}.\)
а) В этом выражении мы имеем разность двух дробей: \(\frac{5mn — m}{4m + n}\) и \(\frac{16m^2 — n^2}{5n — 1}\). Чтобы упростить выражение, сначала раскроем числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем общий множитель \(m\): \(5mn — m = m(5n — 1)\). Во второй дроби заметим, что \(16m^2 — n^2\) — это разность квадратов, которую можно разложить как \((4m — n)(4m + n)\). Таким образом, выражение перепишется в виде \(\frac{m(5n — 1)}{4m + n} — \frac{(4m — n)(4m + n)}{5n — 1}\).
Далее, чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение \( (4m + n)(5n — 1) \). Перепишем обе дроби с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(\frac{5n — 1}{5n — 1}\), вторая — на \(\frac{4m + n}{4m + n}\). После этого числители перемножаются соответственно, и выражение становится \(\frac{m(5n — 1)(5n — 1) — (4m — n)(4m + n)(4m + n)}{(4m + n)(5n — 1)}\). Однако, учитывая исходное упрощение, итоговое выражение сводится к \(m(4m — n)\).
Подставим значения \(m = \frac{1}{4}\) и \(n = -3\). Выражение принимает вид \(\frac{1}{4} \cdot \left(4 \cdot \frac{1}{4} — (-3)\right)\). Сначала вычисляем скобки: \(4 \cdot \frac{1}{4} = 1\), а минус минус даёт плюс, так что внутри скобок \(1 + 3 = 4\). Итог: \(\frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2 — 4}\). В числителях и знаменателях можно выделить множители. Знаменатель \(3x + 9\) раскладывается как \(3(x + 3)\), числитель \(2x + 6\) — как \(2(x + 3)\), а знаменатель \(x^2 — 4\) — как разность квадратов \((x — 2)(x + 2)\).
Подставим эти разложения в исходное выражение: \(\frac{(x+2)^2}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}\). Теперь можно сократить общий множитель \(x + 3\), а также один из множителей \(x + 2\), оставив \(x + 2\) в числителе. Итоговое выражение упрощается до \(\frac{2(x+2)}{3(x-2)}\).
При \(x = 0,5\) подставим в выражение: \(\frac{2(0,5 + 2)}{3(0,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5}\). Приведём к дроби с целыми числами: \(\frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}\).
При \(x = -1,5\) подставим: \(\frac{2(-1,5 + 2)}{3(-1,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!