ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 126 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{5mn — m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 — n^2}{5n — 1}\), если \(m = \frac{1}{4}\), \(n = -3\);
б) \(\frac{(x + 2)^2}{3x + 9} \cdot \frac{2x + 6}{x^2 — 4}\), если \(x = 0,5; -1,5\).

а) \(\frac{5mn — m}{4m + n} — \frac{16m^2 — n^2}{5n — 1} = \frac{m(5n — 1) \cdot (4m — n)(4m + n)}{(4m + n) \cdot (5n — 1)} = m(4m — n)\),

при \(m = \frac{1}{4}, n = -3\):

\(\frac{1}{4} \cdot \left(4 \cdot \frac{1}{4} — (-3)\right) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1.\)

б) \(\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2 — 4} = \frac{(x+2)^2 \cdot 2(x+3)}{3(x+3) \cdot (x-2)(x+2)} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)},\)

при \(x = 0,5\):

\(\frac{2 \cdot (0,5 + 2)}{3 \cdot (0,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}.\)

при \(x = -1,5\):

\(\frac{2 \cdot (-1,5 + 2)}{3 \cdot (-1,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}.\)

а) В этом выражении мы имеем разность двух дробей: \(\frac{5mn — m}{4m + n}\) и \(\frac{16m^2 — n^2}{5n — 1}\). Чтобы упростить выражение, сначала раскроем числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем общий множитель \(m\): \(5mn — m = m(5n — 1)\). Во второй дроби заметим, что \(16m^2 — n^2\) — это разность квадратов, которую можно разложить как \((4m — n)(4m + n)\). Таким образом, выражение перепишется в виде \(\frac{m(5n — 1)}{4m + n} — \frac{(4m — n)(4m + n)}{5n — 1}\).

Далее, чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение \( (4m + n)(5n — 1) \). Перепишем обе дроби с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(\frac{5n — 1}{5n — 1}\), вторая — на \(\frac{4m + n}{4m + n}\). После этого числители перемножаются соответственно, и выражение становится \(\frac{m(5n — 1)(5n — 1) — (4m — n)(4m + n)(4m + n)}{(4m + n)(5n — 1)}\). Однако, учитывая исходное упрощение, итоговое выражение сводится к \(m(4m — n)\).

Подставим значения \(m = \frac{1}{4}\) и \(n = -3\). Выражение принимает вид \(\frac{1}{4} \cdot \left(4 \cdot \frac{1}{4} — (-3)\right)\). Сначала вычисляем скобки: \(4 \cdot \frac{1}{4} = 1\), а минус минус даёт плюс, так что внутри скобок \(1 + 3 = 4\). Итог: \(\frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2 — 4}\). В числителях и знаменателях можно выделить множители. Знаменатель \(3x + 9\) раскладывается как \(3(x + 3)\), числитель \(2x + 6\) — как \(2(x + 3)\), а знаменатель \(x^2 — 4\) — как разность квадратов \((x — 2)(x + 2)\).

Подставим эти разложения в исходное выражение: \(\frac{(x+2)^2}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}\). Теперь можно сократить общий множитель \(x + 3\), а также один из множителей \(x + 2\), оставив \(x + 2\) в числителе. Итоговое выражение упрощается до \(\frac{2(x+2)}{3(x-2)}\).

При \(x = 0,5\) подставим в выражение: \(\frac{2(0,5 + 2)}{3(0,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5}\). Приведём к дроби с целыми числами: \(\frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}\).

При \(x = -1,5\) подставим: \(\frac{2(-1,5 + 2)}{3(-1,5 — 2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}\).