ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 127 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение:
а) \(\frac{a^2 — b^2}{a^2 — 3a} \cdot \frac{2a — 6}{b^2 + 2ab + a^2}\);
б) \(\frac{bx + 3b}{x^2 — 25} \cdot \frac{25 — 10x + x^2}{ax + 3a}\).

а) \(\frac{a^2 — b^2}{a^2 — 3a} \cdot \frac{2a — 6}{b^2 + 2ab + a^2} = \frac{(a — b)(a + b)}{a(a — 3)} \cdot \frac{2(a — 3)}{(b + a)^2} = \frac{2(a — b)}{a(a + b)}\)

б) \(\frac{bx + 3b}{x^2 — 25} \cdot \frac{25 — 10x + x^2}{ax + 3a} = \frac{b(x + 3)}{(x — 5)(x + 5)} \cdot \frac{(x — 5)^2}{a(x + 3)} = \frac{b(x — 5)}{a(x + 5)}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{a^2 — b^2}{a^2 — 3a} \cdot \frac{2a — 6}{b^2 + 2ab + a^2}\). В числителе первой дроби видим разность квадратов \(a^2 — b^2\), которую раскладываем по формуле: \((a — b)(a + b)\). В знаменателе первой дроби выделяем общий множитель \(a\): \(a^2 — 3a = a(a — 3)\). Во второй дроби в числителе выражение \(2a — 6\) раскладываем, вынеся общий множитель 2: \(2(a — 3)\). В знаменателе второй дроби распознаём полный квадрат: \(b^2 + 2ab + a^2 = (b + a)^2\).

Далее подставляем разложенные выражения в исходное произведение: \(\frac{(a — b)(a + b)}{a(a — 3)} \cdot \frac{2(a — 3)}{(b + a)^2}\). Видим, что множители \(a — 3\) в числителе и знаменателе сокращаются, а также учитываем, что \(b + a = a + b\). После сокращения остаётся \(\frac{(a — b)(a + b) \cdot 2}{a (a + b)^2}\).

Затем сокращаем один множитель \(a + b\) в числителе и знаменателе, так как в числителе он в первой степени, в знаменателе — во второй. Итог получаем \(\frac{2(a — b)}{a(a + b)}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{bx + 3b}{x^2 — 25} \cdot \frac{25 — 10x + x^2}{ax + 3a}\). В числителе первой дроби выносим общий множитель \(b\): \(b(x + 3)\). В знаменателе первой дроби распознаём разность квадратов: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\). Во второй дроби числитель преобразуем к квадрату разности: \(25 — 10x + x^2 = (x — 5)^2\). В знаменателе второй дроби выносим общий множитель \(a\): \(a(x + 3)\).

Подставляем разложения: \(\frac{b(x + 3)}{(x — 5)(x + 5)} \cdot \frac{(x — 5)^2}{a(x + 3)}\). Сокращаем множители \(x + 3\) в числителе и знаменателе, а также один множитель \(x — 5\) из квадрата в числителе и из произведения в знаменателе.

В результате остаётся выражение \(\frac{b(x — 5)}{a(x + 5)}\).