ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 128 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(\frac{mx^2 — my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx}\);
б) \(\frac{ax + ay}{x^2 — 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 — xy}{7x + 7y}\);
в) \(\frac{x^3 — y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2 + xy + y^2}\);
г) \(\frac{a^2 — 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 — a + 1}{a^2 + 2a + 1}\).

а) \(\frac{mx^2 — my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} = \frac{m(x — y)(x + y) \cdot 3(m + 4)}{2(m + 4) \cdot m(y + x)} = \frac{3(x — y)}{2}\)

б) \(\frac{ax + ay}{x^2 — 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 — xy}{7x + 7y} = \frac{a(x + y)}{(x — y)^2} \cdot \frac{x(x — y)}{7(x + y)} = \frac{ax}{7(x — y)}\)

в) \(\frac{x^3 — y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x — y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2} = (x — y)^2\)

г) \(\frac{a^2 — 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 — a + 1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a — 1)(a + 1) \cdot (a^2 — a + 1)}{(a + 1)(a^2 — a + 1) \cdot (a + 1)^2} = \frac{a — 1}{(a + 1)^2}\)

а) В первом выражении мы имеем произведение двух дробей: \(\frac{mx^2 — my^2}{2m + 8}\) и \(\frac{3m + 12}{my + mx}\). Сначала заметим, что числитель первой дроби можно разложить по формуле разности квадратов: \(mx^2 — my^2 = m(x^2 — y^2) = m(x — y)(x + y)\). Аналогично, знаменатель второй дроби можно переписать, вынеся \(m\) за скобки: \(my + mx = m(y + x)\). В числителе второй дроби \(3m + 12\) можно представить как \(3(m + 4)\), а в знаменателе первой дроби \(2m + 8\) как \(2(m + 4)\).

После подстановки получаем произведение \(\frac{m(x — y)(x + y)}{2(m + 4)} \cdot \frac{3(m + 4)}{m(y + x)}\). Теперь можно сократить множители \(m\) и \((m + 4)\) в числителе и знаменателе, а также заметить, что \(x + y = y + x\), поэтому они сокращаются. В итоге остается \(\frac{3(x — y)}{2}\).

б) В выражении \(\frac{ax + ay}{x^2 — 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 — xy}{7x + 7y}\) в числителе первой дроби можно вынести общий множитель \(a\): \(a(x + y)\). Знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат разности: \(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2\). Во второй дроби в числителе выделим общий множитель \(x\): \(x(x — y)\), а в знаменателе вынесем общий множитель \(7\): \(7(x + y)\).

Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{a(x + y)}{(x — y)^2} \cdot \frac{x(x — y)}{7(x + y)}\). Сокращая одинаковые множители \(x + y\) и один множитель \(x — y\), получаем \(\frac{ax}{7(x — y)}\).

в) Рассмотрим произведение \(\frac{x^3 — y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2 + xy + y^2}\). Числитель первой дроби раскладывается по формуле разности кубов: \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\). Числитель второй дроби раскладывается по формуле разности квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).

Подставляя, получаем \(\frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x — y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2}\). Сокращая одинаковые множители \(x + y\) и \(x^2 + xy + y^2\), остается произведение \((x — y) \cdot (x — y) = (x — y)^2\).

г) В выражении \(\frac{a^2 — 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 — a + 1}{a^2 + 2a + 1}\) сначала разложим числитель первой дроби как разность квадратов: \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\). Знаменатель первой дроби — это сумма кубов: \(a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1)\). Знаменатель второй дроби — полный квадрат: \(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\).

Подставляя, получаем произведение \(\frac{(a — 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 — a + 1)} \cdot \frac{a^2 — a + 1}{(a + 1)^2}\). Сокращая множители \(a + 1\) и \(a^2 — a + 1\), остается \(\frac{a — 1}{(a + 1)^2}\).