ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 129 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{x^2 — 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 — 16}{2x — 10}\);
б) \(\frac{1 — a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 — 3a}\);
в) \(\frac{y^2 — 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}\);
г) \(\frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 — 2b + 4}\).

а) \(\frac{x^2 — 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 — 16}{2x — 10} = \frac{(x — 5)^2}{3(x + 4)} \cdot \frac{(x — 4)(x + 4)}{2(x — 5)} = \frac{(x — 5)(x — 4)}{6}\)

б) \(\frac{1 — a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 — 3a} = \frac{(1 — a)(1 + a)}{4(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)^2}{3(1 — a)} = \frac{(1 + a)(a + 2b)}{12}\)

в) \(\frac{y^2 — 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} = \frac{(y — 5)(y + 5)}{(y + 6)^2} \cdot \frac{3(y + 6)}{2(y + 5)} = \frac{3(y — 5)}{2(y + 6)}\)

г) \(\frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 — 2b + 4} = \frac{(b + 2)(b^2 — 2b + 4)}{9b(2b + 3)} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 — 2b + 4} = \frac{b + 2}{9b}\)

а) В выражении \( \frac{x^2 — 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 — 16}{2x — 10} \) сначала заметим, что числители и знаменатели можно разложить на множители. Квадратный трехчлен \(x^2 — 10x + 25\) раскладывается как \((x — 5)^2\), потому что это полный квадрат разности. Аналогично, \(x^2 — 16\) — это разность квадратов, которая раскладывается как \((x — 4)(x + 4)\). В знаменателях \(3x + 12\) можно вынести общий множитель 3, получим \(3(x + 4)\), а \(2x — 10\) — это \(2(x — 5)\).

Теперь перепишем исходное выражение с этими разложениями: \(\frac{(x — 5)^2}{3(x + 4)} \cdot \frac{(x — 4)(x + 4)}{2(x — 5)}\). Здесь видно, что множитель \((x + 4)\) в числителе и знаменателе сокращается, как и один множитель \((x — 5)\) из квадрата в числителе с таким же множителем в знаменателе. После сокращения остается \(\frac{(x — 5)(x — 4)}{6}\), где 6 — произведение 3 и 2 из знаменателей.

б) Рассмотрим произведение \(\frac{1 — a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 — 3a}\). В первом числителе \(1 — a^2\) — разность квадратов, раскладывается как \((1 — a)(1 + a)\). Знаменатель \(4a + 8b\) можно представить как \(4(a + 2b)\). Во втором числителе \(a^2 + 4ab + 4b^2\) — полный квадрат суммы, равен \((a + 2b)^2\). Знаменатель \(3 — 3a\) равен \(3(1 — a)\).

Перепишем выражение с этими разложениями: \(\frac{(1 — a)(1 + a)}{4(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)^2}{3(1 — a)}\). Здесь множители \((1 — a)\) в числителе и знаменателе сокращаются, также сокращается один множитель \((a + 2b)\) из квадрата с соответствующим множителем в знаменателе. В итоге остается \(\frac{(1 + a)(a + 2b)}{12}\), где 12 — произведение 4 и 3.

в) В выражении \(\frac{y^2 — 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}\) сначала раскладываем числители и знаменатели. \(y^2 — 25\) — разность квадратов, равна \((y — 5)(y + 5)\). Знаменатель \(y^2 + 12y + 36\) — полный квадрат, равен \((y + 6)^2\). Числитель второго дроби \(3y + 18\) можно вынести общий множитель 3: \(3(y + 6)\). Знаменатель \(2y + 10\) равен \(2(y + 5)\).

Подставляем: \(\frac{(y — 5)(y + 5)}{(y + 6)^2} \cdot \frac{3(y + 6)}{2(y + 5)}\). Сокращаем множители \((y + 5)\) и один множитель \((y + 6)\) из квадрата в знаменателе с числителем. Остается \(\frac{3(y — 5)}{2(y + 6)}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 — 2b + 4}\). Числитель первой дроби \(b^3 + 8\) — сумма кубов, раскладывается как \((b + 2)(b^2 — 2b + 4)\). Знаменатель \(18b^2 + 27b\) можно вынести общий множитель \(9b\), получим \(9b(2b + 3)\). Вторая дробь остается без изменений.

Подставим: \(\frac{(b + 2)(b^2 — 2b + 4)}{9b(2b + 3)} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 — 2b + 4}\). Теперь сокращаем одинаковые множители \(b^2 — 2b + 4\) и \(2b + 3\), которые есть в числителе и знаменателе. В итоге остается \(\frac{b + 2}{9b}\).