ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 13 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
а) \(y — \frac{1}{x — 2}\);
б) \(y — \frac{2x + 3}{x(x + 1)}\);
в) \(y — x + \frac{1}{x + 5}\).

а) \( y = \frac{1}{x — 2} \), \( x \neq 2 \).

б) \( y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)} \), \( x(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, \quad x \neq -1 \).

в) \( y = x + \frac{1}{x + 5} \), \( x \neq -5 \).

а) Функция задана формулой \( y = \frac{1}{x — 2} \). Здесь знаменатель выражения — \(x — 2\), и чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не имеет смысла в математике. Следовательно, необходимо исключить из области определения значение \(x = 2\), при котором знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область определения функции — все числа, кроме \(x = 2\).

Это условие записывается как \(x \neq 2\). При всех остальных значениях \(x\) функция принимает конечные значения и корректно вычисляется. Важно помнить, что именно из-за этого ограничения функция не может принимать значение при \(x = 2\), иначе выражение становится неопределённым.

Таким образом, при решении подобных задач всегда нужно проверять, при каких значениях переменной знаменатель обращается в ноль, и исключать их из области определения, чтобы функция оставалась корректной и определённой.

б) Функция задана выражением \( y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)} \). Здесь знаменатель — произведение двух выражений: \(x\) и \(x + 1\). Для того чтобы функция была определена, произведение в знаменателе не должно равняться нулю. Это возможно только тогда, когда ни один из множителей не равен нулю.

Рассмотрим по отдельности: если \(x = 0\), то знаменатель будет равен нулю, что недопустимо. Аналогично, если \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\), знаменатель также станет нулём. Следовательно, исключаем из области определения значения \(x = 0\) и \(x = -1\).

Таким образом, область определения функции — все \(x\), кроме \(x \neq 0\) и \(x \neq -1\). Это записывается как \(x(x + 1) \neq 0\), что эквивалентно \(x \neq 0\) и \(x \neq -1\). Такие ограничения гарантируют, что функция будет определена и не возникнет деления на ноль.

в) Функция задана формулой \( y = x + \frac{1}{x + 5} \). Здесь функция состоит из двух частей: линейной \(x\) и дробной \(\frac{1}{x + 5}\). Чтобы функция была определена, знаменатель дробной части не должен равняться нулю.

Проверяем, при каком значении \(x + 5 = 0\). Это происходит, когда \(x = -5\). При этом значение функции становится неопределённым, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, из области определения исключаем \(x = -5\).

Область определения функции — все значения \(x\), кроме \(x \neq -5\). Это ограничение необходимо для корректного вычисления функции и предотвращения возникновения неопределённостей.