ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 130 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если дробь \(\frac{a}{b}\) является квадратом дроби, то и произведение \(ab\) можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Если \(\frac{a}{b} = \left(\frac{m}{n}\right)^2\), то:

\(\frac{a}{b} = \frac{m^2}{n^2}\)

\(ab = \frac{a}{b} \cdot b^2 = \frac{m^2}{n^2} \cdot b^2 = \frac{m^2 b^2}{n^2} = \left(\frac{mb}{n}\right)^2\)

Если дано равенство \(\frac{a}{b} = \left(\frac{m}{n}\right)^2\), то это означает, что дробь \(\frac{a}{b}\) выражается как квадрат дроби \(\frac{m}{n}\). Распишем это подробнее: по определению возведения в квадрат, \(\left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}\). Значит, можно записать \( \frac{a}{b} = \frac{m^2}{n^2} \). Это равенство показывает, что числитель \(a\) и знаменатель \(b\) связаны через квадраты чисел \(m\) и \(n\).

Далее рассмотрим произведение \(ab\). Чтобы выразить \(ab\) через известные величины, умножим обе части равенства на \(b\), получим \(a = \frac{m^2}{n^2} b\). Перемножая теперь \(a\) и \(b\), получаем \(ab = \frac{m^2}{n^2} b^2\). Здесь мы просто умножили правую часть на \(b\), чтобы перейти к выражению с произведением \(ab\), сохранив при этом равенство. Важно отметить, что \(b^2\) — это квадрат знаменателя, который входит в исходное выражение.

Последний шаг — упростить выражение \(\frac{m^2}{n^2} b^2\). По свойствам степеней произведение можно переписать как \(\frac{m^2 b^2}{n^2}\), что равно \(\left(\frac{m b}{n}\right)^2\), поскольку квадрат произведения равен произведению квадратов. Это означает, что произведение \(ab\) само является квадратом дроби \(\frac{m b}{n}\). Таким образом, мы получили, что если \(\frac{a}{b}\) — квадрат дроби, то и произведение \(ab\) тоже можно представить в виде квадрата некоторого выражения.