Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 131 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение
\[
\frac{a^2 — 4ac + 3bc}{a^2 — ab + bc — ac} + \frac{a + 3b}{b — a} + \frac{a + 2c}{a — c}.
\]
\(\frac{a^2 — 4ac + 3bc}{a^2 — ab + bc — ac} + \frac{a + 3b}{b — a} + \frac{a + 2c}{a — c} = \frac{a^2 — 4ac + 3bc — (a + 3b)(a — c) + (a + 2c)(a — b)}{(a — b)(a — c)} =\) \(= \frac{a^2 + 4bc — 4ab}{(a — b)(a — c)} = \frac{a(a — c) — 4b(a — c)}{(a — b)(a — c)} = \frac{a — 4b}{a — b}\)
Выражение состоит из трёх слагаемых: \(\frac{a^2 — 4ac + 3bc}{a^2 — ab + bc — ac} + \frac{a + 3b}{b — a} + \frac{a + 2c}{a — c}\). В первую очередь упростим знаменатель первого дробного выражения. Заметим, что \(a^2 — ab + bc — ac\) можно представить как \(a(a — b) — c(a — b)\), что равно \((a — b)(a — c)\). Это важный шаг, поскольку позволяет привести к общему знаменателю.
Далее перепишем первое слагаемое с учётом разложения знаменателя: \(\frac{a^2 — 4ac + 3bc}{(a — b)(a — c)}\). Второе слагаемое \(\frac{a + 3b}{b — a}\) перепишем, поменяв знак в знаменателе, так как \(b — a = -(a — b)\), тогда \(\frac{a + 3b}{b — a} = -\frac{a + 3b}{a — b}\). Третье слагаемое остаётся без изменений. Теперь для сложения всех трёх дробей приведём ко второму общему знаменателю \((a — b)(a — c)\).
Складываем числители: \(a^2 — 4ac + 3bc — (a + 3b)(a — c) + (a + 2c)(a — b)\). Раскроем скобки:
\((a + 3b)(a — c) = a^2 — ac + 3ab — 3bc\),
\((a + 2c)(a — b) = a^2 — ab + 2ac — 2bc\).
Подставим обратно и получим числитель:
\(a^2 — 4ac + 3bc — a^2 + ac — 3ab + 3bc + a^2 — ab + 2ac — 2bc\).
Сгруппируем и упростим:
\(a^2 — a^2 + a^2 = a^2\),
\(-4ac + ac + 2ac = -ac\),
\(3bc + 3bc — 2bc = 4bc\),
\(-3ab — ab = -4ab\).
Таким образом, числитель равен \(a^2 — ac + 4bc — 4ab\). Можно вынести общий множитель \(a — c\) из первых двух и \(a — b\) из последних членов, что позволит факторизовать числитель как \(a(a — c) — 4b(a — c) = (a — 4b)(a — c)\).
Итоговое выражение принимает вид \(\frac{(a — 4b)(a — c)}{(a — b)(a — c)}\). Сокращая общий множитель \(a — c\), получаем \(\frac{a — 4b}{a — b}\). Это и есть окончательный результат упрощения исходного выражения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!