ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 139 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде дроби и сократите её:
а) \((x + 3y) : (x^2 — 9y^2)\);
б) \((a^2 — 6ab + 9b^2) : (a^2 — 9b^2)\);
в) \((x^2 — 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2)\);
г) \((m — 4n)^2 : (32n^2 — 2m^2)\).

а) \(\frac{x+3y}{x^2-9y^2} = \frac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)} = \frac{1}{x-3y}\);

б) \(\frac{a^2 — 6ab + 9b^2}{a^2 — 9b^2} = \frac{(a-3b)^2}{(a-3b)(a+3b)} = \frac{a-3b}{a+3b}\);

в) \(\frac{x^2 — 49y^2}{49y^2 + 14xy + x^2} = \frac{(x-7y)(x+7y)}{(x+7y)^2} = \frac{x-7y}{x+7y}\);

г) \(\frac{(m-4n)^2}{32n^2 — 2m^2} = \frac{(m-4n)^2}{2(16n^2 — m^2)} = \frac{(m-4n)^2}{2(4n-m)(4n+m)} = \frac{4n-m}{2(4n+m)}\).

а) Выражение \( \frac{x+3y}{x^2 — 9y^2} \) содержит в знаменателе разность квадратов, так как \(x^2 — 9y^2 = (x — 3y)(x + 3y)\). Это классическое разложение на множители, где \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставляя это в знаменатель, получаем дробь \( \frac{x+3y}{(x — 3y)(x + 3y)} \).

Далее можно сократить общий множитель \(x + 3y\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(x + 3y \neq 0\). После сокращения остаётся \( \frac{1}{x — 3y} \), что и является окончательным упрощением данного выражения.

б) В числителе выражения \(a^2 — 6ab + 9b^2\) виден полный квадрат разности, так как \(a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2\). В знаменателе стоит разность квадратов \(a^2 — 9b^2 = (a — 3b)(a + 3b)\). Подставляя эти разложения, получаем дробь \( \frac{(a — 3b)^2}{(a — 3b)(a + 3b)} \).

Теперь можно сократить общий множитель \(a — 3b\), при условии, что \(a — 3b \neq 0\). После сокращения остаётся \( \frac{a — 3b}{a + 3b} \), что и является результатом упрощения.

в) В числителе \(x^2 — 49y^2\) снова разность квадратов: \(x^2 — 49y^2 = (x — 7y)(x + 7y)\). В знаменателе выражение \(49y^2 + 14xy + x^2\) — это полный квадрат суммы, так как \(49y^2 + 14xy + x^2 = (x + 7y)^2\). Подставляя эти разложения, получаем дробь \( \frac{(x — 7y)(x + 7y)}{(x + 7y)^2} \).

Далее сокращаем общий множитель \(x + 7y\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(x + 7y \neq 0\). После сокращения остаётся \( \frac{x — 7y}{x + 7y} \), что и есть окончательный ответ.

г) В числителе стоит квадрат выражения \((m — 4n)^2\), а в знаменателе — выражение \(32n^2 — 2m^2\). Сначала вынесем общий множитель 2 из знаменателя: \(32n^2 — 2m^2 = 2(16n^2 — m^2)\). Далее заметим, что \(16n^2 — m^2\) — это разность квадратов, которая раскладывается как \((4n — m)(4n + m)\).

Подставляя это в выражение, получаем дробь \( \frac{(m — 4n)^2}{2(4n — m)(4n + m)} \). Теперь представим числитель в виде \((m — 4n)^2 = (-(4n — m))^2 = (4n — m)^2\), так как квадрат отрицательного выражения равен квадрату положительного.

Это позволяет сократить один множитель \(4n — m\) в числителе и знаменателе, получая \( \frac{4n — m}{2(4n + m)} \), что и является упрощённым результатом.