ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 142 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{4x^2 — 4x}{x + 3} : (2x — 2)\), если \(x = 2,5; -1\);
б) \(\frac{3a + 6b}{2a^2 — 8b^2} : \frac{a + b}{1}\), если \(a = 26, b = -12\).

а) \(\frac{4x^2 — 4x}{x+3} : (2x — 2) = \frac{4x(x-1)}{(x+3) \cdot 2(x-1)} = \frac{4x}{2(x+3)} = \frac{2x}{x+3}\)

при \(x=2,5\):
\(\frac{4 \cdot 2,5}{2 \cdot (2,5 + 3)} = \frac{10}{2 \cdot 5,5} = \frac{10}{11}\)

при \(x = -1\):
\(\frac{4 \cdot (-1)}{2 \cdot (-1 + 3)} = \frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\)

б) \((3a + 6b) : \frac{2a^2 — 8b^2}{a + b} = \frac{3(a + 2b) \cdot (a + b)}{2(a^2 — 4b^2)} = \frac{3(a + 2b)(a + b)}{2(a — 2b)(a + 2b)} = \frac{3(a + b)}{2(a — 2b)}\)

при \(a = 26, b = -12\):
\(\frac{3 \cdot (26 + (-12))}{2 \cdot (26 — 2 \cdot (-12))} = \frac{3 \cdot 14}{2 \cdot (26 + 24)} = \frac{42}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{4x^2 — 4x}{x+3} : (2x — 2)\). Сначала преобразуем деление в умножение на обратное:
\(\frac{4x^2 — 4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x — 2}\). Заметим, что числитель первой дроби можно вынести общий множитель \(4x\), получим \(\frac{4x(x-1)}{x+3}\). Во второй дроби знаменатель \(2x — 2\) тоже можно вынести общий множитель \(2\), получится \(2(x-1)\). Таким образом, выражение примет вид \(\frac{4x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)}\).

Далее сокращаем одинаковые множители \(x-1\) в числителе и знаменателе, так как \(x \neq 1\), чтобы избежать деления на ноль. После сокращения остается \(\frac{4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4x}{2(x+3)} = \frac{2x}{x+3}\). Таким образом, исходное выражение упростилось до \(\frac{2x}{x+3}\).

Теперь подставим заданные значения. При \(x=2,5\) вычисляем \(\frac{2 \cdot 2,5}{2,5 + 3} = \frac{5}{5,5} = \frac{10}{11}\). При \(x=-1\) подставляем в выражение: \(\frac{2 \cdot (-1)}{-1 + 3} = \frac{-2}{2} = -1\). Получили значения функции при данных точках.

б) Рассмотрим выражение \((3a + 6b) : \frac{2a^2 — 8b^2}{a + b}\). Сначала упростим каждую часть. В числителе первой дроби вынесем общий множитель \(3\): \(3(a + 2b)\). Во второй дроби заметим, что знаменатель \(2a^2 — 8b^2\) можно представить как \(2(a^2 — 4b^2)\), а разность квадратов раскроется в произведение \((a — 2b)(a + 2b)\). Значит, вторая дробь равна \(\frac{2(a — 2b)(a + 2b)}{a + b}\).

Деление преобразуем в умножение на обратное:
\((3(a + 2b)) \cdot \frac{a + b}{2(a — 2b)(a + 2b)}\). Сократим множитель \(a + 2b\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(a + 2b \neq 0\). Останется выражение \(\frac{3(a + b)}{2(a — 2b)}\).

Подставим заданные значения \(a = 26\) и \(b = -12\). Сначала вычислим \(a + b = 26 — 12 = 14\), затем \(a — 2b = 26 — 2 \cdot (-12) = 26 + 24 = 50\). Подставляем в выражение: \(\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42\). Это значение результата при данных параметрах.

Таким образом, мы последовательно упростили выражения, выделили общие множители, сократили одинаковые члены и подставили числовые значения, чтобы получить конечный результат.