ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 143 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните деление:
а) \(\frac{3x + 6y}{x^2 — y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 — 2xy + y^2}\);
б) \(\frac{a^2 + 4a + 4}{16 — b^4} : \frac{4 — a^2}{4 + b^2}\).

а) \(\frac{3x + 6y}{x^2 — y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 — 2xy + y^2} = \frac{3(x + 2y)}{(x — y)(x + y)} : \frac{5(x + 2y)}{(x — y)^2} = \frac{3(x + 2y)}{(x — y)(x + y)} \cdot \frac{(x — y)^2}{5(x + 2y)} =\) \(= \frac{3(x — y)}{5(x + y)}\)

б) \(\frac{a^2 + 4a + 4}{16 — b^4} \cdot \frac{4 — a^2}{4 + b^2} = \frac{(a + 2)^2}{(4 — b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{(2 — a)(2 + a)}{4 + b^2} = \frac{2 + a}{(4 — b^2)(2 — a)}\)

а) Сначала преобразуем каждую часть выражения. В числителе первой дроби \(3x + 6y\) можно вынести общий множитель 3, получив \(3(x + 2y)\). Знаменатель \(x^2 — y^2\) раскладываем как разность квадратов: \((x — y)(x + y)\). Аналогично для второй дроби в числителе \(5x + 10y = 5(x + 2y)\), а знаменатель \(x^2 — 2xy + y^2\) — это квадрат разности: \((x — y)^2\). Деление дробей заменяем умножением на обратную:

\(\frac{3(x + 2y)}{(x — y)(x + y)} : \frac{5(x + 2y)}{(x — y)^2} = \frac{3(x + 2y)}{(x — y)(x + y)} \cdot \frac{(x — y)^2}{5(x + 2y)}\).

Во второй дроби сокращаем общий множитель \(x + 2y\), а в числителе и знаменателе сокращаем степень \((x — y)\), оставляя один множитель \((x — y)\) в числителе. Итоговое выражение становится

\(\frac{3(x — y)}{5(x + y)}\).

б) В числителе первой дроби \(a^2 + 4a + 4\) распознаём полный квадрат \((a + 2)^2\). Знаменатель \(16 — b^4\) — разность квадратов, раскладываем как \((4 — b^2)(4 + b^2)\). Во второй дроби числитель \(4 — a^2\) тоже разность квадратов, раскладываем как \((2 — a)(2 + a)\), а знаменатель остаётся \(4 + b^2\). Перемножая дроби, получаем:

\(\frac{(a + 2)^2}{(4 — b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{(2 — a)(2 + a)}{4 + b^2} = \frac{(a + 2)^2 (2 — a)(2 + a)}{(4 — b^2)(4 + b^2)^2}\).

Обращаем внимание, что \((4 + b^2)^2\) в знаменателе — произведение знаменателей обеих дробей. Далее замечаем, что \((a + 2)^2 (2 + a) = (a + 2)^2 (a + 2) = (a + 2)^3\), но для упрощения оставим как есть. В числителе произведение \((a + 2)^2 (2 — a)(2 + a)\) равно \((a + 2)^2 (4 — a^2)\). В итоге сокращаем с помощью разложения знаменателя и получаем:

\(\frac{2 + a}{(4 — b^2)(2 — a)}\).