ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 144 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
а) \(\frac{a^2 + ax + x^2}{a — 1} : \frac{a^3 — x^3}{x^2 — 1}\);
б) \(\frac{ap^2 — 9a}{p^3 — 8} : \frac{p + 3}{2p — 4}\).

а) \(\frac{a^2 + ax + x^2}{x — 1} : \frac{a^3 — x^3}{x^2 — 1} = \frac{(a^2 + ax + x^2) \cdot (x — 1)(x + 1)}{(x — 1) \cdot (a — x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{x + 1}{a — x}\)

б) \(\frac{ap^2 — 9a}{p^3 — 8} : \frac{p + 3}{2p — 4} = \frac{a(p — 3)(p + 3) \cdot 2(p — 2)}{(p — 2)(p^2 + 2p + 4) \cdot (p + 3)} = \frac{2a(p — 3)}{p^2 + 2p + 4}\)

а) В данном выражении сначала рассматриваем деление двух дробей: \(\frac{a^2 + ax + x^2}{x — 1} : \frac{a^3 — x^3}{x^2 — 1}\). Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь, то есть умножаем \(\frac{a^2 + ax + x^2}{x — 1}\) на \(\frac{x^2 — 1}{a^3 — x^3}\). Далее раскладываем выражения в числителе и знаменателе на множители. Заметим, что \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\) — это разность квадратов. Также \(a^3 — x^3\) раскладываем по формуле разности кубов: \(a^3 — x^3 = (a — x)(a^2 + ax + x^2)\).

После подстановки получаем произведение \(\frac{a^2 + ax + x^2}{x — 1} \cdot \frac{(x — 1)(x + 1)}{(a — x)(a^2 + ax + x^2)}\). Здесь можно сократить множители: \(a^2 + ax + x^2\) в числителе и знаменателе, а также \(x — 1\). В итоге остаётся \(\frac{x + 1}{a — x}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{ap^2 — 9a}{p^3 — 8} : \frac{p + 3}{2p — 4}\). Сначала заменяем деление умножением на обратную дробь: \(\frac{ap^2 — 9a}{p^3 — 8} \cdot \frac{2p — 4}{p + 3}\). Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. В числителе первого дроби выделяем общий множитель \(a\): \(ap^2 — 9a = a(p^2 — 9) = a(p — 3)(p + 3)\) — разность квадратов. В знаменателе \(p^3 — 8\) раскладываем по формуле разности кубов: \(p^3 — 8 = (p — 2)(p^2 + 2p + 4)\). В числителе второй дроби \(2p — 4 = 2(p — 2)\).

Подставляем всё в произведение: \(\frac{a(p — 3)(p + 3)}{(p — 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p — 2)}{p + 3}\). Сокращаем множители \(p + 3\) и \(p — 2\), которые есть в числителе и знаменателе. В итоге остаётся \(\frac{2a(p — 3)}{p^2 + 2p + 4}\).