ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 145 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Из формулы \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\) выразите:
а) переменную \(c\) через \(a\) и \(b\);
б) переменную \(b\) через \(a\) и \(c\).

а) \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \)

\( c = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{ab}{b+a} \).

б) \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \)

\( \frac{1}{b} = \frac{1}{c} — \frac{1}{a} \)

\( b = \frac{1}{\frac{1}{c} — \frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-c}{ac}} = \frac{ac}{a-c} \).

а) Начинаем с уравнения \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\). Чтобы выразить \(c\), нужно привести левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{b}\) — это \(ab\), поэтому сумма равна \(\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}\). Таким образом, уравнение принимает вид \(\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{c}\).

Далее, чтобы найти \(c\), нужно взять обратную величину от левой части, потому что \(\frac{1}{c} = \frac{a+b}{ab}\), значит \(c = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{ab}{a+b}\). Это и есть искомое выражение для \(c\), которое показывает, что \(c\) равен произведению \(a\) и \(b\), делённому на их сумму.

б) Исходное уравнение \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\) переписываем, чтобы выразить \(b\). Переносим \(\frac{1}{a}\) в правую часть: \(\frac{1}{b} = \frac{1}{c} — \frac{1}{a}\). Для вычисления разности дробей приводим их к общему знаменателю \(ac\), получаем \(\frac{1}{b} = \frac{a}{ac} — \frac{c}{ac} = \frac{a-c}{ac}\).

Чтобы найти \(b\), берем обратную величину: \(b = \frac{1}{\frac{a-c}{ac}} = \frac{ac}{a-c}\). Это выражение показывает, что \(b\) равен произведению \(a\) и \(c\), делённому на разность \(a\) и \(c\). Таким образом, мы успешно выразили \(b\) через \(a\) и \(c\).