ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 146 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) \(\frac{2b}{2b + 3} — \frac{5}{3 — 2b} : \frac{4b^2 + 9}{4b^2 — 9}\);
б) \(\frac{c + 6b}{ac + 2bc — 6ab — 3a^2} + \frac{2b}{a^2 + 2ab} — \frac{b}{ac — 3a^2}\).

а) \(\frac{2b}{2b+3} — \frac{5}{3-2b} — \frac{4b^2 + 9}{4b^2 — 9} = \frac{2b}{2b+3} + \frac{5}{2b-3} — \frac{4b^2 + 9}{(2b-3)(2b+3)} =\)
\(= \frac{2b(2b-3) + 5(2b+3) — (4b^2 + 9)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b^2 — 6b + 10b + 15 — 4b^2 — 9}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b + 6}{(2b-3)(2b+3)} =\)
\(= \frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{2}{2b-3}\).

б) \(\frac{c + 6b}{ac + 2bc — 6ab — 3a^2} + \frac{2b}{a^2 + 2ab} — \frac{b}{ac — 3a^2} = \frac{c + 6b}{c(a + 2b) — 3a(a + 2b)} + \frac{2b}{a(a + 2b)} -\) \(- \frac{b}{a(c — 3a)} = \frac{a(c + 6b) + 2b(c — 3a) — b(a + 2b)}{a(a + 2b)(c — 3a)} = \frac{ac + 6ab + 2bc — 6ab — ab — 2b^2}{a(a + 2b)(c — 3a)} =\) \(= \frac{ac + 2bc — ab — 2b^2}{a(a + 2b)(c — 3a)} = \frac{c(a + 2b) — b(a + 2b)}{a(a + 2b)(c — 3a)} = \frac{(a + 2b)(c — b)}{a(a + 2b)(c — 3a)} = \frac{c — b}{a(c — 3a)}\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{2b}{2b+3} — \frac{5}{3-2b} — \frac{4b^2 + 9}{4b^2 — 9}\). Первым шагом необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Обратите внимание, что \(3-2b = -(2b-3)\), поэтому \(- \frac{5}{3-2b} = \frac{5}{2b-3}\). Знаменатель третьей дроби раскладывается на множители: \(4b^2 — 9 = (2b-3)(2b+3)\). Таким образом, общий знаменатель для всех дробей будет \((2b-3)(2b+3)\).

Далее приводим каждую дробь к общему знаменателю: первая дробь умножается на \(\frac{2b-3}{2b-3}\), вторая остается с уже приведённым знаменателем, третья уже имеет знаменатель \((2b-3)(2b+3)\). Складываем числители: \(2b(2b-3) + 5(2b+3) — (4b^2 + 9)\). Раскрываем скобки: \(4b^2 — 6b + 10b + 15 — 4b^2 — 9\). Упрощаем числитель, сокращая одинаковые слагаемые: \(4b^2 — 4b^2 = 0\), \(-6b + 10b = 4b\), \(15 — 9 = 6\). Итоговый числитель \(4b + 6\).

Теперь дробь выглядит как \(\frac{4b + 6}{(2b-3)(2b+3)}\). В числителе можно вынести общий множитель 2: \(2(2b + 3)\). Тогда дробь становится \(\frac{2(2b + 3)}{(2b-3)(2b+3)}\). Сокращаем множитель \(2b + 3\) в числителе и знаменателе, получая окончательный ответ \(\frac{2}{2b-3}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{c + 6b}{ac + 2bc — 6ab — 3a^2} + \frac{2b}{a^2 + 2ab} — \frac{b}{ac — 3a^2}\). Для начала разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе группируем: \(ac + 2bc — 6ab — 3a^2 = c(a + 2b) — 3a(a + 2b) = (a + 2b)(c — 3a)\). Во втором знаменателе \(a^2 + 2ab = a(a + 2b)\). Третий знаменатель \(ac — 3a^2 = a(c — 3a)\).

Теперь приведём дроби к общему знаменателю, равному произведению всех уникальных множителей \(a(a + 2b)(c — 3a)\). Первая дробь уже имеет знаменатель \((a + 2b)(c — 3a)\), поэтому умножаем её на \(\frac{a}{a}\). Вторая дробь умножается на \(\frac{c — 3a}{c — 3a}\), третья — на \(\frac{a + 2b}{a + 2b}\).

Складываем числители: \(a(c + 6b) + 2b(c — 3a) — b(a + 2b)\). Раскрываем скобки: \(ac + 6ab + 2bc — 6ab — ab — 2b^2\). Упрощаем: \(6ab — 6ab = 0\), остаётся \(ac + 2bc — ab — 2b^2\).

Выносим общие множители: \(ac + 2bc = c(a + 2b)\), а \(- ab — 2b^2 = -b(a + 2b)\). Числитель принимает вид \(c(a + 2b) — b(a + 2b) = (a + 2b)(c — b)\).

Общий знаменатель \(a(a + 2b)(c — 3a)\) остаётся без изменений. Сокращаем множитель \(a + 2b\) в числителе и знаменателе, получая итоговый результат \(\frac{c — b}{a(c — 3a)}\).