Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 150 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действия:
а) \(\left(\frac{x}{y^2} — \frac{1}{x}\right) : \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\);
б) \(\left(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}\right) : \left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a}\right)\);
в) \(\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b}\);
г) \(\frac{x — y}{x} : \frac{5y}{x^2} : \frac{x^2 — xy}{5y}\).
а) \(\left(\frac{x}{y^2} — \frac{1}{x}\right) : \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{x^2 — y^2}{xy^2}}{\frac{x + y}{xy}} = \frac{(x — y)(x + y) \cdot xy}{xy^2 \cdot (x + y)} = \frac{x — y}{y}\)
б) \(\left(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}\right) : \left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a}\right) = \frac{\frac{am^3 + a^2 m^2}{m^5}}{\frac{a^2 m + a^2 m}{a^2 a}} = \frac{am^2(m + a) \cdot a^3}{m^5 \cdot am(m + a)} = \frac{a^3}{m^4}\)
в) \(\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b} = \frac{b(a + b) \cdot 3a}{3 \cdot b^3} + \frac{a + b}{b} = \frac{a(a + b)}{b^2} + \frac{a + b}{b} = \frac{a(a + b) + b(a + b)}{b^2} =\) \(= \frac{(a + b)(a + b)}{b^2} = \frac{(a + b)^2}{b^2}\)
г) \(\frac{x — y}{x} — \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 — xy}{5y} = \frac{x — y}{x} — \frac{5y \cdot x (x — y)}{x^2 \cdot 5y} = \frac{x — y}{x} — \frac{x — y}{x} = 0\)
а) Сначала преобразуем выражение внутри скобок. В числителе первой дроби \( \frac{x}{y^2} — \frac{1}{x} \) приводим к общему знаменателю, получаем \( \frac{x^2 — y^2}{x y^2} \). Во второй дроби \( \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \) общий знаменатель \( xy \), сумма равна \( \frac{x + y}{xy} \). Теперь исходное выражение — это деление двух дробей, что равно умножению первой на обратную вторую: \( \frac{\frac{x^2 — y^2}{x y^2}}{\frac{x + y}{x y}} = \frac{x^2 — y^2}{x y^2} \cdot \frac{x y}{x + y} \).
Далее раскладываем разность квадратов \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \) и сокращаем общий множитель \( x + y \) в числителе и знаменателе. Остаток выражения: \( \frac{(x — y)(x + y) \cdot x y}{x y^2 \cdot (x + y)} = \frac{(x — y) \cdot x y}{x y^2} = \frac{x — y}{y} \).
б) Вначале раскрываем скобки в числителе и знаменателе дробей. Левая часть: \( \frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a m + a^2}{m^3} \), умножая числитель и знаменатель на \( m \), получаем \( \frac{a m^2 + a^2 m}{m^4} \). Правая часть: \( \frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2 + a m}{a^2} \), умножаем числитель и знаменатель на \( a \), получаем \( \frac{m^2 a + a^2 m}{a^3} \).
Деление левой части на правую — это умножение левой дроби на обратную правой: \( \frac{a m^2 + a^2 m}{m^4} \cdot \frac{a^3}{m^2 a + a^2 m} \). Замечаем, что числители и знаменатели имеют общий множитель \( a m + a^2 \), сокращаем его, остаётся \( \frac{a^3}{m^4} \).
в) Начинаем с выражения \( \frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b} \). Переписываем деление как умножение на обратную дробь: \( \frac{ab + b^2}{3} \cdot \frac{3a}{b^3} + \frac{a + b}{b} \). Сокращаем множители \( 3 \) и \( b^2 \), получаем \( \frac{a(a + b)}{b^2} + \frac{a + b}{b} \).
Приводим к общему знаменателю \( b^2 \), вторую дробь умножаем на \( \frac{b}{b} \), получается \( \frac{a(a + b) + b(a + b)}{b^2} = \frac{(a + b)(a + b)}{b^2} = \frac{(a + b)^2}{b^2} \).
г) Рассмотрим выражение \( \frac{x — y}{x} — \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 — xy}{5y} \). Вторая часть умножения содержит дробь с одинаковыми множителями в числителе и знаменателе: \( \frac{5y}{x^2} \) и \( \frac{x^2 — xy}{5y} \). Перемножая, сокращаем \( 5y \) и \( x^2 \), остаётся \( \frac{x^2 — xy}{x^2} \).
Раскладываем \( x^2 — xy = x(x — y) \), подставляем: \( \frac{x(x — y)}{x^2} = \frac{x — y}{x} \). Теперь исходное выражение: \( \frac{x — y}{x} — \frac{x — y}{x} = 0 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!