Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 152 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\left(\frac{2m + 1}{2m — 1} — \frac{2m — 1}{2m + 1}\right) : \frac{4m}{10m — 5}\);
б) \(\left(\frac{x + 3}{x — 3} : \frac{x + 3}{x — 3}\right)\).
а) \(\left(\frac{2m+1}{2m-1} — \frac{2m-1}{2m+1}\right) : \frac{4m}{10m-5} = \frac{(2m+1)^2 — (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{10m-5} =\) \(= \frac{4m^2 + 4m + 1 — 4m^2 + 4m -1}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{10m-5} =\) \(= \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m} = \frac{8m \cdot 5(2m-1)}{(2m-1)(2m+1) \cdot 4m} = \frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}\)
б) \(\frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}\right) = \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{x^2 + 6x + 9 + x^2 — 6x + 9}{(x-3)(x+3)} =\) \(= \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3) \cdot 2(x^2 + 9)}{(x^2+9)(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x-3}\)
а) Сначала рассмотрим выражение в скобках: \(\frac{2m+1}{2m-1} — \frac{2m-1}{2m+1}\). Чтобы вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей: \((2m-1)(2m+1)\). Тогда числитель становится разностью произведений: \((2m+1)^2 — (2m-1)^2\). Раскроем скобки и возьмём квадрат: \((2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1\), \((2m-1)^2 = 4m^2 — 4m + 1\). Подставим в числитель: \(4m^2 + 4m + 1 — (4m^2 — 4m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 — 4m^2 + 4m — 1\). Упростим, сократив одинаковые члены: \(4m + 4m = 8m\), и единицы взаимно уничтожаются. Получаем числитель \(8m\), а знаменатель остаётся \((2m-1)(2m+1)\).
Далее делим полученное выражение на дробь \(\frac{4m}{10m — 5}\). Деление дробей заменяем умножением на обратную: \(\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m — 5}{4m}\). Заметим, что \(10m — 5 = 5(2m — 1)\), и подставим это в произведение. Теперь выражение выглядит как \(\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}\). Сократим одинаковые множители: \(2m-1\) в числителе и знаменателе, \(m\) в числителе и знаменателе, а также \(8\) и \(4\) на \(2\). В итоге остаётся \(\frac{2 \cdot 5}{2m + 1} = \frac{10}{2m + 1}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{x+3}{x^2 + 9} \cdot \left(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}\right)\). Сначала упростим сумму в скобках. Для этого найдём общий знаменатель \((x-3)(x+3)\) и приведём дроби к нему. Числитель суммы будет \((x+3)^2 + (x-3)^2\). Раскроем квадраты: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\), \((x-3)^2 = x^2 — 6x + 9\). Сложим: \(x^2 + 6x + 9 + x^2 — 6x + 9 = 2x^2 + 18\). Значит, сумма равна \(\frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)}\).
Теперь умножим исходное выражение: \(\frac{x+3}{x^2 + 9} \cdot \frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)}\). Заметим, что \(2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9)\), подставим это: \(\frac{x+3}{x^2 + 9} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)}\). Сократим \(x^2 + 9\) в числителе и знаменателе, а также \(x+3\) в числителе и знаменателе. После сокращения остаётся \(\frac{2}{x-3}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!