ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 153 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) \(\frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} : \left(\frac{6a + 1}{a — 3} \cdot \frac{6a — 1}{a + 3}\right)\);
б) \(\left(\frac{5x + y}{x — 5y} + \frac{5x — y}{x + 5y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 — 25y^2}\).

а) \(\frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \left(\frac{6a + 1}{a — 3} + \frac{6a — 1}{a + 3}\right) = \frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{(6a + 1)(a + 3) + (6a — 1)(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)} =\) \(= \frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{6a^2 + 18a + a + 3 + 6a^2 — 18a — a + 3}{a^2 — 9} = \frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{12a^2 + 6}{a^2 — 9} =\) \(= \frac{12a^2 + 6}{2a^2 + 1} = 6.\)

б) \(\left(\frac{5x + y}{x — 5y} + \frac{5x — y}{x + 5y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 — 25y^2} = \frac{(5x + y)(x + 5y) + (5x — y)(x — 5y)}{(x — 5y)(x + 5y)} :\) \(: \frac{x^2 + y^2}{x^2 — 25y^2} = \frac{5x^2 + 25xy + xy + 5y^2 + 5x^2 — 25xy — xy + 5y^2}{x^2 — 25y^2} \cdot \frac{x^2 — 25y^2}{x^2 + y^2} =\) \(= \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 + y^2} = 10.\)

а) Сначала рассмотрим выражение \(\frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \left(\frac{6a + 1}{a — 3} + \frac{6a — 1}{a + 3}\right)\). Для удобства приведём сумму дробей к общему знаменателю, которым является произведение \((a — 3)(a + 3)\). Тогда числитель суммы преобразуется в \((6a + 1)(a + 3) + (6a — 1)(a — 3)\). Раскроем скобки: \(6a \cdot a = 6a^2\), \(6a \cdot 3 = 18a\), \(1 \cdot a = a\), \(1 \cdot 3 = 3\), и аналогично для второго слагаемого \(6a \cdot a = 6a^2\), \(6a \cdot (-3) = -18a\), \(-1 \cdot a = -a\), \(-1 \cdot (-3) = 3\). Складывая, получаем \(6a^2 + 18a + a + 3 + 6a^2 — 18a — a + 3\).

Далее упростим числитель: \(6a^2 + 6a^2 = 12a^2\), \(18a — 18a = 0\), \(a — a = 0\), \(3 + 3 = 6\). В итоге числитель равен \(12a^2 + 6\). Знаменатель суммы — это \((a — 3)(a + 3) = a^2 — 9\). Подставим обратно в исходное выражение: \(\frac{a^2 — 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{12a^2 + 6}{a^2 — 9}\). Заметим, что \(a^2 — 9\) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся \(\frac{12a^2 + 6}{2a^2 + 1}\).

Теперь вынесем общий множитель 6 из числителя: \(12a^2 + 6 = 6(2a^2 + 1)\). Тогда выражение принимает вид \(\frac{6(2a^2 + 1)}{2a^2 + 1}\). Сокращая \(2a^2 + 1\), получаем ответ 6.

б) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{5x + y}{x — 5y} + \frac{5x — y}{x + 5y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 — 25y^2}\). Сначала сложим две дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю \((x — 5y)(x + 5y) = x^2 — 25y^2\). Числитель суммы будет равен \((5x + y)(x + 5y) + (5x — y)(x — 5y)\).

Раскроем скобки в первом произведении: \(5x \cdot x = 5x^2\), \(5x \cdot 5y = 25xy\), \(y \cdot x = xy\), \(y \cdot 5y = 5y^2\). Во втором произведении: \(5x \cdot x = 5x^2\), \(5x \cdot (-5y) = -25xy\), \(-y \cdot x = -xy\), \(-y \cdot (-5y) = 5y^2\). Складывая, получаем числитель \(5x^2 + 25xy + xy + 5y^2 + 5x^2 — 25xy — xy + 5y^2\).

Упростим числитель: \(5x^2 + 5x^2 = 10x^2\), \(25xy — 25xy = 0\), \(xy — xy = 0\), \(5y^2 + 5y^2 = 10y^2\). Значит, числитель равен \(10x^2 + 10y^2\). Знаменатель — \(x^2 — 25y^2\). Следовательно, сумма дробей равна \(\frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 — 25y^2}\).

Теперь делим эту сумму на \(\frac{x^2 + y^2}{x^2 — 25y^2}\), что эквивалентно умножению на обратную дробь: \(\frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 — 25y^2} \cdot \frac{x^2 — 25y^2}{x^2 + y^2}\). Сокращаем \(x^2 — 25y^2\), остаётся \(\frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 + y^2}\).

Вынесем общий множитель 10 в числителе: \(10(x^2 + y^2)\). Тогда выражение примет вид \(\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}\). Сокращая \(x^2 + y^2\), получаем ответ 10.