Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 154 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действия:
а) \(\frac{a^2 — 25}{a + 3} : \frac{1}{a^2 + 5a} : \frac{a + 5}{a^2 — 3a}\);
б) \(\frac{b — c}{a + b} — \frac{ab — b^2}{a^2 — ac} : \frac{a^2 — c^2}{a^2 — b^2}\);
в) \(\frac{1 — 2x}{2x + 1} : \frac{x^2 + 3x}{4x^2 — 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}\);
г) \(\frac{a^2 — 4}{x^2 — 9} : \frac{a^2 — 2a}{xy + 3y} + \frac{2 — y}{x — 3}\).
а) \(\frac{a^2 — 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} \cdot \frac{a + 5}{a^2 — 3a} = \frac{(a — 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a(a — 3)} =\) \(= \frac{a — 5}{a(a + 3)} \cdot \frac{a + 5}{a(a — 3)} = \frac{(a — 5)(a — 3) — (a + 5)(a + 3)}{a(a + 3)(a — 3)} = \frac{a^2 — 3a — 5a + 15 — a^2 — 3a — 5a — 15}{a(a + 3)(a — 3)} =\) \(= \frac{-16a}{a(a + 3)(a — 3)} = -\frac{16}{a^2 — 9}\)
б) \(\frac{1 — 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 — 1} \cdot \frac{3 + x}{4x + 2} = \frac{1 — 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x — 1} = \frac{(1 — 2x)(2x — 1) + 2x(2x + 1)}{(2x + 1)(2x — 1)} =\) \(= \frac{-4x^2 + 4x — 1 + 4x^2 + 2x}{(2x + 1)(2x — 1)} = \frac{6x — 1}{4x^2 — 1}\)
в) \(\frac{b — c}{a + b} — \frac{ab — b^2}{a^2 — ac} \cdot \frac{a^2 — c^2}{a^2 — b^2} = \frac{b — c}{a + b} — \frac{b(a — b) \cdot (a — c)(a + c)}{a(a — c) \cdot (a — b)(a + b)} = \frac{b — c}{a + b} — \frac{b(a + c)}{a(a + b)} =\) \(= \frac{a(b — c) — b(a + c)}{a(a + b)} = \frac{ab — ac — ab — bc}{a(a + b)} = -\frac{c(a + b)}{a(a + b)} = -\frac{c}{a}\)
г) \(\frac{a^2 — 4}{x^2 — 9} \cdot \frac{a^2 — 2a}{xy + 3y} + \frac{2 — y}{x — 3} = \frac{(a — 2)(a + 2)}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{y(x + 3)}{a(x — 2)} + \frac{2 — y}{x — 3} = \frac{(a — 2)(a + 2) y (x + 3)}{a(x — 2)(x — 3)(x + 3)} +\) \(+ \frac{2 — y}{x — 3} = \frac{y(a + 2)}{a(x — 3)} + \frac{2 — y}{x — 3} = \frac{ay + 2y + 2a — ay}{a(x — 3)} = \frac{2y + 2a}{a(x — 3)} = \frac{2(y + a)}{a(x — 3)}\)
а) Сначала преобразуем выражение, раскладывая числители и знаменатели на множители. В числителе первой дроби \(a^2 — 25\) — это разность квадратов, которую можно представить как \((a — 5)(a + 5)\). Знаменатель первой дроби — \(a + 3\), оставляем без изменений. Во второй дроби знаменатель \(a^2 + 5a\) раскладываем на \(a(a + 5)\), а числитель равен 1. В третьей дроби числитель \(a + 5\), а знаменатель \(a^2 — 3a\) раскладываем как \(a(a — 3)\).
Теперь умножаем дроби: \(\frac{(a — 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a(a — 3)}\). Видим, что множитель \(a + 5\) сокращается между второй и третьей дробью. Остается \(\frac{a — 5}{a + 3} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a(a — 3)}\), что даёт \(\frac{a — 5}{a(a + 3)} \cdot \frac{1}{a(a — 3)}\).
Далее приводим к общему знаменателю \(a(a + 3)(a — 3)\) и выполняем вычитание в числителе: \((a — 5)(a — 3) — (a + 5)(a + 3)\). Раскрываем скобки: \(a^2 — 3a — 5a + 15 — (a^2 + 3a + 5a + 15)\). Суммируем и упрощаем: \(a^2 — 8a + 15 — a^2 — 8a — 15 = -16a\). Итоговая дробь: \(\frac{-16a}{a(a + 3)(a — 3)} = -\frac{16}{a^2 — 9}\).
б) Рассмотрим выражение по частям. Первая дробь \(\frac{1 — 2x}{2x + 1}\) остаётся без изменений. Вторая дробь — сложное выражение: \(\frac{x^2 + 3x}{4x^2 — 1} \cdot \frac{3 + x}{4x + 2}\). Знаменатель \(4x^2 — 1\) раскладывается как разность квадратов \((2x — 1)(2x + 1)\), а \(4x + 2 = 2(2x + 1)\).
Умножая, сокращаем общий множитель \(2x + 1\), получаем \(\frac{x(x + 3)(3 + x)}{2(2x — 1)}\). Поскольку \(x + 3 = 3 + x\), выражение упрощается до \(\frac{x(x + 3)^2}{2(2x — 1)}\). Далее приводим все дроби к общему знаменателю \((2x + 1)(2x — 1)\) и складываем числители: \((1 — 2x)(2x — 1) + 2x(2x + 1)\).
Раскрываем скобки: \(2x — 1 — 4x^2 + 2x + 4x^2 + 2x\). Упрощаем: \(6x — 1\). Итоговая дробь: \(\frac{6x — 1}{4x^2 — 1}\).
в) Начинаем с выражения \(\frac{b — c}{a + b} — \frac{ab — b^2}{a^2 — ac} \cdot \frac{a^2 — c^2}{a^2 — b^2}\). Раскладываем разности квадратов: \(a^2 — c^2 = (a — c)(a + c)\), \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).
Подставляем и упрощаем: \(\frac{b — c}{a + b} — \frac{b(a — b)}{a(a — c)} \cdot \frac{(a — c)(a + c)}{(a — b)(a + b)}\). Сокращаем одинаковые множители, остаётся \(\frac{b — c}{a + b} — \frac{b(a + c)}{a(a + b)}\).
Приводим к общему знаменателю \(a(a + b)\) и объединяем: \(\frac{a(b — c) — b(a + c)}{a(a + b)}\). Раскрываем числитель: \(ab — ac — ab — bc = -ac — bc = -c(a + b)\). Итог: \(-\frac{c(a + b)}{a(a + b)} = -\frac{c}{a}\).
г) Рассмотрим выражение \(\frac{a^2 — 4}{x^2 — 9} \cdot \frac{a^2 — 2a}{xy + 3y} + \frac{2 — y}{x — 3}\). Раскладываем разности квадратов: \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\), \(x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)\).
Знаменатель второго множителя \(xy + 3y = y(x + 3)\). Переписываем произведение: \(\frac{(a — 2)(a + 2)}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{a(a — 2)}{y(x + 3)}\).
Сокращаем общий множитель \(x + 3\), получаем \(\frac{(a — 2)(a + 2) a}{y (x — 3)}\). Прибавляем \(\frac{2 — y}{x — 3}\), приводим к общему знаменателю \(a y (x — 3)\).
Объединяем числители: \(y(a + 2) + a(2 — y) = ay + 2y + 2a — ay = 2y + 2a\). Итог: \(\frac{2(y + a)}{a(x — 3)}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!