Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 155 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \((a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a^2 — 1} — \frac{1}{a — 1}\right)\);
б) \(\left(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2}\right) + 1\);
в) \(1 — \left(\frac{2}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\right) \cdot \left(a — \frac{3a + 2}{4}\right)\);
г) \((y^2 — 4) \left(\frac{3}{y + 2} — \frac{2}{y — 2}\right) + 5\).
а) \((a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2 — 1} — \frac{1}{a-1}\right) = -\frac{a+1}{a-1}\)
1) \(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} — \frac{1}{a-1} = \frac{a — 1 + 1 — a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{(a-1)(a+1)}\)
2) \((a^2 + 2a + 1) \cdot \left(-\frac{1}{(a-1)(a+1)}\right) = \frac{(a+1)^2 \cdot (-1)}{(a-1)(a+1)} = -\frac{a+1}{a-1}\)
б) \(\left(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3x}{2}\)
1) \(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x — 9x^2 — 4}{12x} = -\frac{(2 — 3x)^2}{12x}\)
2) \(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2} = \frac{2 — 3x}{6x}\)
3) \(-\frac{(2 — 3x)^2}{12x} : \frac{2 — 3x}{6x} = -\frac{(2 — 3x)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2 — 3x} = -\frac{(2 — 3x) \cdot 6x}{12x} = -\frac{2 — 3x}{2}\)
4) \(-\frac{2 — 3x}{2} + 1 = \frac{3x — 2}{2} + 1 = \frac{3x}{2}\)
в) \(1 — \left(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a — \frac{3a + 2}{4}\right) = \frac{a}{a+2}\)
1) \(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) — 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{8}{(a-2)(a+2)}\)
2) \(a — \frac{3a + 2}{4} = \frac{4a — 3a — 2}{4} = \frac{a — 2}{4}\)
3) \(\frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a — 2}{4} = \frac{2}{a+2}\)
4) \(1 — \frac{2}{a+2} = \frac{a + 2 — 2}{a+2} = \frac{a}{a+2}\)
г) \((y^2 — 4) \left(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2}\right) + 5 = y — 5\)
1) \(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2) — 2(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{3y — 6 — 2y — 4}{y^2 — 4} = \frac{y — 10}{y^2 — 4}\)
2) \((y^2 — 4) \cdot \frac{y — 10}{y^2 — 4} = y — 10\)
3) \(y — 10 + 5 = y — 5\)
а) Выражение \( (a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2 — 1} — \frac{1}{a-1}\right) \) требует упрощения. Сначала заметим, что \(a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2\), что упрощает работу с первой частью. Далее рассмотрим сумму внутри скобок: приведём все дроби к общему знаменателю. Так как \(a^2 — 1 = (a-1)(a+1)\), общий знаменатель будет \((a-1)(a+1)\). Перепишем каждую дробь с этим знаменателем: \(\frac{1}{a+1} = \frac{a-1}{(a-1)(a+1)}\), \(\frac{1}{a^2 — 1} = \frac{1}{(a-1)(a+1)}\), \(\frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}\).
Сложим числители: \( (a-1) + 1 — (a+1) = a — 1 + 1 — a — 1 = -1 \). Таким образом, сумма равна \(\frac{-1}{(a-1)(a+1)}\). Теперь умножаем \((a+1)^2\) на эту дробь: \((a+1)^2 \cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{-(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}\). Сокращая \(a+1\) в числителе и знаменателе, получаем \(-\frac{a+1}{a-1}\).
б) Рассмотрим выражение \( \left(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2}\right) + 1 \). Сначала упростим первую часть: \(1 — \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x}{12x} — \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x — 9x^2 — 4}{12x}\). В числителе выделим полный квадрат: \(12x — 9x^2 — 4 = -(9x^2 — 12x + 4) = -(3x — 2)^2\). Значит, первая часть равна \(-\frac{(3x — 2)^2}{12x}\).
Вторая часть: \(\frac{1}{3x} — \frac{1}{2} = \frac{2 — 3x}{6x}\). Деление первой части на вторую — это умножение на обратную: \(-\frac{(3x — 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2 — 3x}\). Заметим, что \(2 — 3x = -(3x — 2)\), тогда выражение становится \(-\frac{(3x — 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x — 2)} = \frac{(3x — 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{3x — 2} = \frac{(3x — 2) \cdot 6x}{12x} = \frac{3x — 2}{2}\). Добавляя 1, получаем \(\frac{3x — 2}{2} + 1 = \frac{3x}{2}\).
в) В выражении \(1 — \left(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a — \frac{3a + 2}{4}\right)\) сначала упростим скобки. Разность дробей: \(\frac{2}{a-2} — \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) — 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{4 + 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{8}{(a-2)(a+2)}\). Следующая скобка: \(a — \frac{3a + 2}{4} = \frac{4a — 3a — 2}{4} = \frac{a — 2}{4}\). Умножая, получаем \(\frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a — 2}{4} = \frac{2}{a+2}\). Отнимаем это от 1: \(1 — \frac{2}{a+2} = \frac{a + 2 — 2}{a+2} = \frac{a}{a+2}\).
г) Рассмотрим выражение \((y^2 — 4) \left(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2}\right) + 5\). Сначала упростим разность дробей: \(\frac{3}{y+2} — \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2) — 2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{3y — 6 — 2y — 4}{y^2 — 4} = \frac{y — 10}{y^2 — 4}\). Теперь умножаем на \(y^2 — 4\), что даёт \(y — 10\). Добавляя 5, получаем \(y — 10 + 5 = y — 5\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!