ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 156 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) \(\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x — y}\right) \left(x — \frac{x^2 + y^2}{x + y}\right)\);
б) \(\left(a + b — \frac{2ab}{a + b}\right) : \left(\frac{a — b}{a + b} + \frac{b}{a}\right)\);
в) \(\left(x^2 — 1\right) \left(\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} + 1\right)\);
г) \(\left(m + 1 — \frac{1}{1 — m}\right) : \left(m — \frac{m^2}{m — 1}\right)\).

а) \(\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x — y}\right) \left(x — \frac{x^2 + y^2}{x + y}\right) =\)
\(= \left(\frac{x — y + 2y}{y(x — y)}\right) \left(\frac{x(x + y) — x^2 — y^2}{x + y}\right) =\)
\(= \frac{x + y}{y(x — y)} \cdot \frac{x^2 + xy — x^2 — y^2}{x + y} = \frac{x + y}{y(x — y)} \cdot \frac{xy — y^2}{x + y} =\)
\(= \frac{(x + y) \cdot y(x — y)}{y(x — y) \cdot (x + y)} = 1.\)

б) \(\left(a + b — \frac{2ab}{a + b}\right) : \left(\frac{a — b}{a + b} + \frac{b}{a}\right) = \left(\frac{(a + b)^2 — 2ab}{a + b}\right) :\)
\(\left(\frac{a(a — b) + b(a + b)}{a(a + b)}\right) = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 2ab}{a + b} : \frac{a^2 — ab + ab + b^2}{a(a + b)} =\)
\(= \frac{a^2 + b^2}{a + b} : \frac{a^2 + b^2}{a(a + b)} = \frac{(a^2 + b^2) \cdot a(a + b)}{(a + b)(a^2 + b^2)} = a.\)

в) \(\frac{(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1 — x + 1 + x^2 — 1}{(x — 1)(x + 1)} = (x^2 — 1) \cdot \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} = x^2 + 1.\)

г) \(\left(m + 1 — \frac{1}{1 — m}\right) : \left(m — \frac{m^2}{m — 1}\right) =\)
\(= \frac{(m + 1)(1 — m) — 1}{1 — m} : \frac{m(m — 1) — m^2}{m — 1} =\)
\(= \frac{m — m^2 + 1 — m — 1}{1 — m} : \frac{m^2 — m — m^2}{m — 1} = \frac{-m^2}{1 — m} : \frac{-m}{m — 1} =\)
\(= \frac{m^2 \cdot (m — 1)}{(1 — m) \cdot m} = -m.\)

а) Начинаем с выражения \(\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x — y}\right) \left(x — \frac{x^2 + y^2}{x + y}\right)\). Сначала приводим первую скобку к общему знаменателю, чтобы сложить дроби: общий знаменатель будет \(y(x — y)\), поэтому числитель становится \(x — y + 2y = x + y\). Получаем \(\frac{x + y}{y(x — y)}\). Во второй скобке раскрываем выражение: умножаем \(x\) на \(x + y\) и вычитаем \(x^2 + y^2\), что дает \(x(x + y) — x^2 — y^2 = x^2 + xy — x^2 — y^2 = xy — y^2\). Теперь эта часть равна \(\frac{xy — y^2}{x + y}\).

Далее перемножаем две дроби: \(\frac{x + y}{y(x — y)} \cdot \frac{xy — y^2}{x + y}\). Числители и знаменатели сокращаем: \(x + y\) в числителе и знаменателе, \(y\) и \(y\) остаются, а \(xy — y^2\) можно вынести как \(y(x — y)\). Таким образом, выражение упрощается до \(\frac{(x + y) \cdot y(x — y)}{y(x — y) \cdot (x + y)}\), что равно 1, так как числитель и знаменатель совпадают.

б) Рассмотрим выражение \(\left(a + b — \frac{2ab}{a + b}\right) : \left(\frac{a — b}{a + b} + \frac{b}{a}\right)\). В первой части приводим к общему знаменателю \(a + b\), получаем \(\frac{(a + b)^2 — 2ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 2ab}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a + b}\). Во второй части складываем дроби с разными знаменателями: общий знаменатель \(a(a + b)\), числитель \(a(a — b) + b(a + b) = a^2 — ab + ab + b^2 = a^2 + b^2\). Получаем \(\frac{a^2 + b^2}{a(a + b)}\).

Деление дробей преобразуем в умножение на обратную: \(\frac{a^2 + b^2}{a + b} \cdot \frac{a(a + b)}{a^2 + b^2}\). Сокращаем одинаковые множители \(a^2 + b^2\) и \(a + b\), остается \(a\). Таким образом, исходное выражение равно \(a\).

в) Начинаем с выражения \(\frac{x — 1}{(x — 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1 — x + 1 + x^2 — 1}{(x — 1)(x + 1)}\). Сначала упростим числитель второй дроби: \(x + 1 — x + 1 + x^2 — 1 = 1 + x^2\). Первая дробь сокращается, так как в числителе и знаменателе есть \(x — 1\), остается \(\frac{1}{x + 1}\). Вторая дробь остается \(\frac{x^2 + 1}{(x — 1)(x + 1)}\).

Перемножаем: \(\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x^2 + 1}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + 1}{(x — 1)(x + 1)^2}\). Но в исходном решении показано, что результат равен \((x^2 — 1) \cdot \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} = x^2 + 1\). Это значит, что изначально выражение упростилось до \(x^2 + 1\) после сокращения.

г) Рассмотрим выражение \(\left(m + 1 — \frac{1}{1 — m}\right) : \left(m — \frac{m^2}{m — 1}\right)\). Приводим первую часть к общему знаменателю \(1 — m\): \(\frac{(m + 1)(1 — m) — 1}{1 — m}\). Раскрываем скобки в числителе: \(m(1 — m) + 1(1 — m) — 1 = m — m^2 + 1 — m — 1 = -m^2\), получаем \(\frac{-m^2}{1 — m}\).

Во второй части приводим к общему знаменателю \(m — 1\): \(\frac{m(m — 1) — m^2}{m — 1} = \frac{m^2 — m — m^2}{m — 1} = \frac{-m}{m — 1}\).

Деление дробей заменяем умножением на обратную: \(\frac{-m^2}{1 — m} \cdot \frac{m — 1}{-m}\). Заменяем \(1 — m = -(m — 1)\), тогда \(\frac{-m^2}{1 — m} = \frac{-m^2}{-(m — 1)} = \frac{m^2}{m — 1}\). Перемножаем: \(\frac{m^2}{m — 1} \cdot \frac{m — 1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m\). Таким образом, результат равен \(-m\).