Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 157 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\frac{4xy}{y^2 — x^2} : \left(\frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\right)\);
б) \(\left(\frac{x — 2y}{x^2 + 2xy} : \frac{x + 2y}{x^2 — 4y^2}\right) : \left(\frac{x + 2y}{2y — x}\right)^2 \cdot \frac{1}{4y^2}\).
а) \( \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \left( \frac{1}{y^{2} — x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2xy + y^{2}} \right) = \)
\( = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \left( \frac{1}{(y — x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^{2}} \right) = \)
\( = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{y + x + y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}} = \)
\( = \frac{4xy \cdot (y — x)(y + x)^{2}}{(y — x)(y + x) \cdot 2y} = 2x(y + x) \).
б) \( \left( \frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{x^{2} — 4y^{2}} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{x — 2y}{x(x + 2y)} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{(x — 2y)(x + 2y) — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{x^{2} — 4y^{2} — x^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(x — 2y)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-(x — 2y)^{2}(x + 2y)}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-(x — 2y)(x + 2y)}{x} \cdot \frac{x + 2y}{4y^{2}} = \frac{(x — 2y)}{2xy} \).
а) Сначала преобразуем выражение внутри скобок. Знаем, что \(y^{2} — x^{2} = (y — x)(y + x)\), а \(x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}\). Подставляем эти разложения в выражение:
\( \frac{1}{y^{2} — x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2xy + y^{2}} = \frac{1}{(y — x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^{2}} \).
Для сложения дробей приводим к общему знаменателю \((y — x)(y + x)^{2}\), получаем:
\(\frac{y + x}{(y — x)(y + x)^{2}} + \frac{y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{y + x + y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}}\).
Теперь деление исходного выражения на это значение перепишем как умножение на обратное:
\( \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{4xy}{(y — x)(y + x)} \cdot \frac{(y — x)(y + x)^{2}}{2y} \).
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: \((y — x)\) и \(y\). После сокращения остается:
\( \frac{4x \cdot (y + x)^{2}}{2 \cdot (y + x)} = 2x(y + x) \).
б) Рассмотрим выражение внутри скобок:
\(\frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{x^{2} — 4y^{2}} = \frac{x — 2y}{x(x + 2y)} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)}\).
Приводим к общему знаменателю \(x(x + 2y)(x — 2y)\):
\(\frac{(x — 2y)(x — 2y)}{x(x + 2y)(x — 2y)} — \frac{x}{x(x + 2y)(x — 2y)} = \frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)}\).
Далее делим полученное выражение на \(\frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}}\), что равносильно умножению на обратное:
\(\frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y}\).
Умножаем на \(\frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}}\), получаем:
\(\frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}}\).
Заменяем \((2y — x)^{2} = (x — 2y)^{2}\), сокращаем одинаковые множители \((x + 2y)\) и \((x — 2y)\), что упрощает выражение до:
\(\frac{-(x — 2y)(x + 2y)}{x} \cdot \frac{x + 2y}{4y^{2}} = \frac{(x — 2y)}{2xy}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!