ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 157 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{4xy}{y^2 — x^2} : \left(\frac{1}{y^2 — x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\right)\);
б) \(\left(\frac{x — 2y}{x^2 + 2xy} : \frac{x + 2y}{x^2 — 4y^2}\right) : \left(\frac{x + 2y}{2y — x}\right)^2 \cdot \frac{1}{4y^2}\).

а) \( \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \left( \frac{1}{y^{2} — x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2xy + y^{2}} \right) = \)
\( = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \left( \frac{1}{(y — x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^{2}} \right) = \)
\( = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{y + x + y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}} = \)
\( = \frac{4xy \cdot (y — x)(y + x)^{2}}{(y — x)(y + x) \cdot 2y} = 2x(y + x) \).

б) \( \left( \frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{x^{2} — 4y^{2}} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{x — 2y}{x(x + 2y)} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \left( \frac{(x — 2y)(x + 2y) — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \right) : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{x^{2} — 4y^{2} — x^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} : \frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-4y^{2}}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(x — 2y)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-(x — 2y)^{2}(x + 2y)}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}} = \)
\( = \frac{-(x — 2y)(x + 2y)}{x} \cdot \frac{x + 2y}{4y^{2}} = \frac{(x — 2y)}{2xy} \).

а) Сначала преобразуем выражение внутри скобок. Знаем, что \(y^{2} — x^{2} = (y — x)(y + x)\), а \(x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}\). Подставляем эти разложения в выражение:
\( \frac{1}{y^{2} — x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2xy + y^{2}} = \frac{1}{(y — x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^{2}} \).
Для сложения дробей приводим к общему знаменателю \((y — x)(y + x)^{2}\), получаем:
\(\frac{y + x}{(y — x)(y + x)^{2}} + \frac{y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{y + x + y — x}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}}\).

Теперь деление исходного выражения на это значение перепишем как умножение на обратное:
\( \frac{4xy}{y^{2} — x^{2}} : \frac{2y}{(y — x)(y + x)^{2}} = \frac{4xy}{(y — x)(y + x)} \cdot \frac{(y — x)(y + x)^{2}}{2y} \).
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: \((y — x)\) и \(y\). После сокращения остается:
\( \frac{4x \cdot (y + x)^{2}}{2 \cdot (y + x)} = 2x(y + x) \).

б) Рассмотрим выражение внутри скобок:
\(\frac{x — 2y}{x^{2} + 2xy} — \frac{1}{x^{2} — 4y^{2}} = \frac{x — 2y}{x(x + 2y)} — \frac{1}{(x — 2y)(x + 2y)}\).
Приводим к общему знаменателю \(x(x + 2y)(x — 2y)\):
\(\frac{(x — 2y)(x — 2y)}{x(x + 2y)(x — 2y)} — \frac{x}{x(x + 2y)(x — 2y)} = \frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)}\).

Далее делим полученное выражение на \(\frac{x + 2y}{(2y — x)^{2}}\), что равносильно умножению на обратное:
\(\frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y}\).
Умножаем на \(\frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}}\), получаем:
\(\frac{(x — 2y)^{2} — x}{x(x + 2y)(x — 2y)} \cdot \frac{(2y — x)^{2}}{x + 2y} \cdot \frac{(x + 2y)^{2}}{4y^{2}}\).

Заменяем \((2y — x)^{2} = (x — 2y)^{2}\), сокращаем одинаковые множители \((x + 2y)\) и \((x — 2y)\), что упрощает выражение до:
\(\frac{-(x — 2y)(x + 2y)}{x} \cdot \frac{x + 2y}{4y^{2}} = \frac{(x — 2y)}{2xy}\).