Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 158 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Представьте в виде дроби:
а) \(\frac{x + 2}{x^2 — 2x + 1} + \frac{3x — 3}{x^2 — 4} — \frac{3}{x^2 — 2}\);
б) \(\frac{a — 2}{4a^2 + 16a + 16} : \left(\frac{a}{2a — 4} — \frac{a^2 + 4}{2a^2 — 8} + \frac{2}{a^2 + 2a}\right)\).
а) \(\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} \cdot \frac{3}{x-2} = \frac{(x+2) \cdot 3(x-1)}{(x-1)^2 \cdot (x-2)(x+2)} \cdot \frac{3}{x-2} =\)
\(= \frac{3}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{3}{x-2} = \frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)} =\)
\(= \frac{6-3x}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3}{1-x}\)
б) \(\frac{a-2}{4a^2+16a+16} : \left(\frac{a}{2a-4} — \frac{a^2+4}{2a^2-8} — \frac{2}{a^2+2a}\right) =\)
\(= \frac{a-2}{(2a+4)^2} : \left(\frac{a}{2(a-2)} — \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} — \frac{2}{a(a+2)}\right) =\)
\(= \frac{a-2}{(2a+4)^2} : \left(\frac{a^2(a+2) — a(a^2+4) — 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}\right) =\)
\(= \frac{a-2}{(2a+4)^2} : \left(\frac{a^3 + 2a^2 — a^3 — 4a — 4a + 8}{2a(a-2)(a+2)}\right) =\)
\(= \frac{a-2}{(2a+4)^2} : \frac{2a^2 — 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{(2a+4)^2} \cdot \frac{2a(a-2)(a+2)}{2a^2 — 8a + 8} =\)
\(= \frac{(a-2) \cdot a (a-2)(a+2)}{(2a+4)^2 \cdot (a-2)^2} \cdot \frac{1}{a(a+2)} = \frac{a(a+2)}{4(a+2)^2} = \frac{a}{4(a+2)}\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} \cdot \frac{3}{x-2}\). Сначала раскладываем знаменатели на множители. Заметим, что \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\), а \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). Подставляем это в выражение и получаем \(\frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{3}{x-2}\). Далее сокращаем общий множитель \(x+2\) в числителе и знаменателе, он есть и там, и там. После сокращения остаётся \(\frac{1}{(x-1)^2} \cdot 3(x-1) \cdot \frac{3}{x-2} \cdot \frac{1}{x-2}\).
Во втором шаге сокращаем множитель \(x-1\) в числителе и знаменателе: из \((x-1)^2\) в знаменателе и \(x-1\) в числителе остаётся \(x-1\) в знаменателе. Теперь выражение выглядит как \(\frac{3 \cdot 3}{(x-1)(x-2)(x-2)} = \frac{9}{(x-1)(x-2)^2}\). Обратим внимание, что в исходном решении произведение дробей было преобразовано в разность дробей, что позволяет упростить выражение иначе.
Далее преобразуем выражение в дробь с разностью: \(\frac{3}{(x-1)(x-2)} — \frac{3}{x-2} = \frac{3 — 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 — 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 — 3x}{(x-1)(x-2)}\). Вынесем общий множитель \(-3\) в числителе: \(\frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)}\). Сокращаем \(x-2\) в числителе и знаменателе и меняем знак, получаем \(\frac{3}{1-x}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{a-2}{4a^2 + 16a + 16} : \left(\frac{a}{2a — 4} — \frac{a^2 + 4}{2a^2 — 8} — \frac{2}{a^2 + 2a}\right)\). Сначала раскладываем знаменатели на множители: \(4a^2 + 16a + 16 = (2a + 4)^2\), \(2a — 4 = 2(a — 2)\), \(2a^2 — 8 = 2(a^2 — 4) = 2(a — 2)(a + 2)\), \(a^2 + 2a = a(a + 2)\). Подставляем эти разложения.
Теперь выражение принимает вид \(\frac{a-2}{(2a + 4)^2} : \left(\frac{a}{2(a-2)} — \frac{a^2 + 4}{2(a-2)(a+2)} — \frac{2}{a(a+2)}\right)\). Приводим дроби в скобках к общему знаменателю \(2a(a-2)(a+2)\). Для этого умножаем числители и знаменатели соответствующих дробей, получаем \(\frac{a^2 a + 2a^2 — a(a^2 + 4) — 4(a — 2)}{2a(a-2)(a+2)}\).
Раскрываем скобки в числителе: \(a^3 + 2a^2 — a^3 — 4a — 4a + 8 = 2a^2 — 8a + 8\). Таким образом, выражение в скобках равно \(\frac{2a^2 — 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)}\). Деление на эту дробь эквивалентно умножению на её обратную: \(\frac{a-2}{(2a + 4)^2} \cdot \frac{2a(a-2)(a+2)}{2a^2 — 8a + 8}\).
Сокращаем общий множитель \(a-2\) в числителе и знаменателе, учитывая, что \(2a^2 — 8a + 8 = 2(a^2 — 4a + 4) = 2(a-2)^2\). Итоговое выражение упрощается до \(\frac{a \cdot (a+2)}{4(a+2)^2} = \frac{a}{4(a+2)}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!