ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 159 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) выражение
\[
(0,5(a — 1)^2 — 18) \left(\frac{a + 5}{a — 7} + \frac{a — 7}{a + 5}\right)
\]
принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

\( (0,5(a — 1)^2 — 18) \left(\frac{a + 5}{a — 7} + \frac{a — 7}{a + 5}\right) = (a — 1)^2 + 36 \)

1) \( 0,5(a — 1)^2 — 18 = \frac{a^2 — 2a + 1}{2} — 18 = \frac{a^2 — 2a + 1 — 36}{2} = \frac{a^2 — 2a — 35}{2} \).

2) \( \frac{a + 5}{a — 7} + \frac{a — 7}{a + 5} = \frac{(a + 5)^2 + (a — 7)^2}{(a — 7)(a + 5)} = \frac{a^2 + 10a + 25 + a^2 — 14a + 49}{(a — 7)(a + 5)} = \frac{2a^2 — 4a + 74}{(a — 7)(a + 5)} \).

3) \( \frac{(a^2 — 2a — 35) \cdot 2(a^2 — 2a + 37)}{2 \cdot (a^2 + 5a — 7a — 35)} = \frac{(a^2 — 2a — 35) \cdot (a^2 — 2a + 37)}{(a^2 — 2a — 35)} = a^2 — 2a + 37 =\) \(= a^2 — 2a + 1 + 36 = (a — 1)^2 + 36 \).

Так как \((a — 1)^2 \geq 0\), а \(36 > 0\), то наименьшее значение будет при \((a — 1)^2 = 0\), \(a = 1\).

\((1 — 1)^2 + 36 = 36\).

Ответ: при \(a = 1\) значение выражения равно 36.

1) Начинаем с упрощения левой части уравнения: \(0,5(a — 1)^2 — 18\). Раскроем скобки в квадрате: \((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\). Подставляем это в выражение, получаем \(0,5(a^2 — 2a + 1) — 18\). Умножаем на 0,5, что эквивалентно делению на 2: \(\frac{a^2 — 2a + 1}{2} — 18\). Чтобы привести к общему виду, запишем 18 как \(\frac{36}{2}\), и тогда выражение становится \(\frac{a^2 — 2a + 1}{2} — \frac{36}{2} = \frac{a^2 — 2a + 1 — 36}{2} = \frac{a^2 — 2a — 35}{2}\).

Далее рассматриваем вторую часть левой части уравнения — сумму дробей \(\frac{a + 5}{a — 7} + \frac{a — 7}{a + 5}\). Чтобы сложить эти дроби, приводим их к общему знаменателю, которым будет произведение \((a — 7)(a + 5)\). Переписываем сумму как \(\frac{(a + 5)^2 + (a — 7)^2}{(a — 7)(a + 5)}\). Раскроем скобки в числителе: \((a + 5)^2 = a^2 + 10a + 25\), \((a — 7)^2 = a^2 — 14a + 49\). Складываем: \(a^2 + 10a + 25 + a^2 — 14a + 49 = 2a^2 — 4a + 74\). Итоговая дробь: \(\frac{2a^2 — 4a + 74}{(a — 7)(a + 5)}\).

2) Теперь умножаем две части левой стороны уравнения: \(\frac{a^2 — 2a — 35}{2}\) и \(\frac{2a^2 — 4a + 74}{(a — 7)(a + 5)}\). Заметим, что знаменатель второго выражения — это разложение произведения двух линейных множителей. Раскроем и упростим числитель второго выражения, а также заметим, что \(a^2 — 2a — 35\) можно разложить как \((a — 7)(a + 5)\), то есть совпадает с знаменателем второго выражения.

Таким образом, при умножении числитель первого выражения и числитель второго: \((a^2 — 2a — 35)(2a^2 — 4a + 74)\) делится на \(2 \cdot (a — 7)(a + 5)\). Подставим разложение: \((a — 7)(a + 5)\) вместо \(a^2 — 2a — 35\) в числителе и знаменателе. Тогда выражение упростится до \(\frac{(a — 7)(a + 5) \cdot (2a^2 — 4a + 74)}{2 \cdot (a — 7)(a + 5)} = \frac{2a^2 — 4a + 74}{2}\).

3) Упростим числитель: \(2a^2 — 4a + 74\). Разделим все на 2, получаем \(a^2 — 2a + 37\). Теперь левая часть уравнения равна \(a^2 — 2a + 37\).

Правая часть уравнения — \((a — 1)^2 + 36\). Раскроем скобки: \((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\), тогда выражение становится \(a^2 — 2a + 1 + 36 = a^2 — 2a + 37\).

Таким образом, левая и правая части совпадают, что подтверждает правильность преобразований.

Так как \((a — 1)^2 \geq 0\) для любого \(a\), минимальное значение выражения достигается при \(a — 1 = 0\), то есть при \(a = 1\). Подставляя \(a = 1\), получаем минимальное значение выражения: \((1 — 1)^2 + 36 = 0 + 36 = 36\).

Ответ: при \(a = 1\) значение выражения равно 36.