ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 16 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:
а) \(\frac{m + 4}{6}\);
б) \(\frac{7 — 5n}{11}\);
в) \(\frac{b^2 — b}{b + 2}\);
г) \(\frac{y^2 — 25}{3y — 15}\).

Дробь \(\frac{a}{b}\) равна нулю тогда и только тогда, когда \(a=0\) и \(b \neq 0\).

а) \(\frac{m+4}{6} = 0\);
\(m+4=0\)
\(m=-4\).
Ответ: при \(m=-4\).

б) \(\frac{7-5n}{11}=0\);
\(7-5n=0\)
\(5n=7\)
\(n=1,4\).
Ответ: при \(n=1,4\).

в) \(\frac{b^2 — b}{b+2} = 0\);
\(b^2 — b=0\), \(b+2 \neq 0\)
\(b(b-1)=0\), \(b \neq -2\)
\(b=0\) или \(b=1\).
Ответ: при \(b=0\) или \(b=1\).

г) \(\frac{y^2 — 25}{3y — 15} = 0\);
\(y^2 — 25=0\), \(3y — 15 \neq 0\)
\((y-5)(y+5)=0\), \(3y \neq 15\)
\(y=5\) или \(y=-5\), но \(y \neq 5\)
Ответ: при \(y=-5\).

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае дробь \(\frac{m+4}{6}\) равна нулю, если \(m+4=0\), так как знаменатель 6 — это число, не равное нулю. Чтобы найти \(m\), нужно решить уравнение \(m+4=0\), что даёт \(m=-4\). Это единственное значение, при котором дробь будет равна нулю, потому что при любом другом значении числитель не станет нулём.

Таким образом, условие \(m=-4\) гарантирует, что дробь \(\frac{m+4}{6}\) станет равной нулю. Знаменатель не влияет на результат, так как он постоянен и не равен нулю, следовательно, деление определено. В итоге ответом является \(m=-4\).

б) В дроби \(\frac{7-5n}{11}\) знаменатель равен 11, что не равно нулю, поэтому для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель был равен нулю. Решаем уравнение \(7-5n=0\), переносим \(5n\) вправо: \(5n=7\), затем делим обе части на 5, получая \(n=\frac{7}{5}=1,4\). При этом значение \(n=1,4\) не делает знаменатель равным нулю, так как знаменатель постоянен и равен 11.

Значение \(n=1,4\) — единственное, при котором числитель становится нулём, и дробь равна нулю. Другие значения \(n\) не удовлетворяют уравнению, поэтому они не подходят. Таким образом, ответ — \(n=1,4\).

в) Рассматриваем дробь \(\frac{b^2 — b}{b+2}\). Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Значит, нужно решить систему: \(b^2 — b=0\) и \(b+2 \neq 0\). Уравнение \(b^2 — b=0\) можно разложить на множители: \(b(b-1)=0\), откуда \(b=0\) или \(b=1\). При этом \(b \neq -2\), чтобы знаменатель не был равен нулю.

Таким образом, дробь равна нулю при \(b=0\) или \(b=1\). Значение \(b=-2\) исключается, так как оно обнуляет знаменатель, и дробь тогда не определена. Ответ: \(b=0\) или \(b=1\).

г) Для дроби \(\frac{y^2 — 25}{3y — 15}\) условие равенства нулю — числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю. Решаем \(y^2 — 25=0\), что раскладывается как \((y-5)(y+5)=0\), даёт \(y=5\) или \(y=-5\). Знаменатель равен \(3y — 15\), и он не должен быть равен нулю, значит \(3y — 15 \neq 0\), то есть \(y \neq 5\).

Из двух корней числителя \(y=5\) и \(y=-5\), значение \(y=5\) исключается, так как оно обнуляет знаменатель. Следовательно, дробь равна нулю только при \(y=-5\).

Ответ: \(y=-5\).