ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 160 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) выражение
\[
\frac{81}{(0,5b + 9)^2 + (0,5b — 9)^2}
\]
принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

\( \frac{81}{(0,5b + 9)^2 + (0,5b — 9)^2} = \frac{81}{0,25b^2 + 9b + 81 + 0,25b^2 — 9b + 81} = \)

\( = \frac{81}{0,5b^2 + 162} = \frac{81}{0,5(b^2 + 324)} = \frac{162}{b^2 + 324} \).

Полученная дробь будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим, а знаменатель будет наименьшим при \( b = 0 \). Значение выражения будет равно:

\( \frac{162}{0 + 324} = \frac{162}{324} = \frac{1}{2} \).

Ответ: при \( b = 0 \) значение выражения равно \( \frac{1}{2} \).

\( \frac{81}{(0,5b + 9)^2 + (0,5b — 9)^2} \) — это выражение, в котором знаменатель представляет собой сумму квадратов двух выражений: \( (0,5b + 9)^2 \) и \( (0,5b — 9)^2 \). Для упрощения сначала раскроем скобки по формуле квадрата суммы и квадрата разности. Получаем: \( (0,5b + 9)^2 = 0,25b^2 + 9b + 81 \) и \( (0,5b — 9)^2 = 0,25b^2 — 9b + 81 \). Складывая эти два выражения, замечаем, что члены \( +9b \) и \( -9b \) взаимно уничтожаются, а остальные слагаемые складываются: \( 0,25b^2 + 0,25b^2 = 0,5b^2 \), \( 81 + 81 = 162 \). Таким образом, знаменатель упрощается до \( 0,5b^2 + 162 \).

Далее можно вынести общий множитель \( 0,5 \) из знаменателя, чтобы получить более удобный вид: \( 0,5(b^2 + 324) \). Теперь выражение принимает вид \( \frac{81}{0,5(b^2 + 324)} \). Деление на \( 0,5 \) эквивалентно умножению на 2, поэтому числитель и знаменатель можно переписать как \( \frac{81}{0,5(b^2 + 324)} = \frac{81 \cdot 2}{b^2 + 324} = \frac{162}{b^2 + 324} \). Это упрощение позволяет легче анализировать поведение дроби в зависимости от переменной \( b \).

Чтобы найти наибольшее значение дроби, нужно минимизировать знаменатель \( b^2 + 324 \), так как числитель постоянен и равен 162. Поскольку \( b^2 \geq 0 \) для всех действительных чисел \( b \), минимальное значение знаменателя достигается при \( b = 0 \), тогда \( b^2 + 324 = 324 \). Подставляя это значение, получаем \( \frac{162}{324} = \frac{1}{2} \). Следовательно, максимальное значение исходного выражения равно \( \frac{1}{2} \) и достигается при \( b = 0 \).