ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 161 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество:
а) \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) = \frac{1}{q}\);
б) \(\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}\).

а) \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right) = \frac{1}{q}\)
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \frac{p^2 — q^2}{pq} = \frac{1}{q}\)
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{(p — q)(p + q)}{(p + q) \cdot pq} = \frac{1}{q}\)
\(\frac{2p — q}{pq} — \frac{p — q}{pq} = \frac{1}{q}\)
\(\frac{2p — q — p + q}{pq} = \frac{1}{q}\)
\(\frac{p}{pq} = \frac{1}{q}\)
\(\frac{1}{q} = \frac{1}{q}\) – верно.

б) \(\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{(a + b)(a + b) — (a — b)(a — b)}{2(a — b)(a + b)} = \frac{b(a + b) — b(b — a)}{(a — b)(a + b)}\)
\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{2(a — b)(a + b)} = \frac{ab + b^2 — b^2 + ab}{(a — b)(a + b)}\)
\(\frac{4ab}{2(a — b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a — b)(a + b)}\)
\(\frac{2ab}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}\) – верно.

а) Начинаем с выражения \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right) = \frac{1}{q}\). Для упрощения сначала преобразуем скобку \(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\). Приводим к общему знаменателю: это будет \(\frac{p^2 — q^2}{pq}\), так как общий знаменатель \(pq\). После этого выражение принимает вид \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{1}{p + q} \cdot \frac{p^2 — q^2}{pq}\).

Далее замечаем, что \(p^2 — q^2\) раскладывается на множители как \((p — q)(p + q)\). Подставляем это в выражение, получая \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{(p — q)(p + q)}{(p + q) \cdot pq}\). Сокращаем множитель \(p + q\) в числителе и знаменателе, остается \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{p — q}{pq}\).

Теперь объединяем дроби с одинаковым знаменателем \(pq\): \(\frac{2p — q}{pq} — \frac{p — q}{pq} = \frac{2p — q — (p — q)}{pq} = \frac{2p — q — p + q}{pq} = \frac{p}{pq}\). Сокращаем \(p\) в числителе и знаменателе, получается \(\frac{1}{q}\), что совпадает с правой частью исходного равенства. Значит, равенство верно.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{a + b}{2(a — b)} — \frac{a — b}{2(a + b)} = \frac{b}{a — b} — \frac{b^2 — ab}{a^2 — b^2}\). Сначала приводим левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(2(a — b)(a + b)\). Переписываем разности дробей как одну: \(\frac{(a + b)(a + b) — (a — b)(a — b)}{2(a — b)(a + b)}\).

Раскрываем скобки в числителе: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Вычитаем: \(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = 4ab\). Значит, числитель равен \(4ab\), а знаменатель \(2(a — b)(a + b)\).

Делим числитель и знаменатель на 2, получаем \(\frac{2ab}{(a — b)(a + b)}\). Теперь рассмотрим правую часть. Заметим, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Переписываем правую часть как \(\frac{b(a + b) — b(b — a)}{(a — b)(a + b)}\). Раскрываем скобки: \(b(a + b) = ab + b^2\), \(b(b — a) = b^2 — ab\). Вычитаем: \(ab + b^2 — (b^2 — ab) = ab + b^2 — b^2 + ab = 2ab\).

Таким образом, правая часть равна \(\frac{2ab}{(a — b)(a + b)}\), что совпадает с левой частью. Значит, равенство верно.