ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 162 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество:
а) \(\frac{1,2x^2 — xy}{0,36x^2 — 0,25y^2} = \frac{20x}{6x + 5y}\);
б) \(\frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 — 0,64x^2} = \frac{50}{9a — 8x}\).

а) \(\frac{1,2x^2 — xy}{0,36x^2 — 0,25y^2} = \frac{20x}{6x + 5y}\)
\(\frac{x(1,2x — y)}{(0,6x — 0,5y)(0,6x + 0,5y)} = \frac{20x}{6x + 5y}\)
\(\frac{2x(0,6x — 0,5y)}{(0,6x — 0,5y)(0,6x + 0,5y)} = \frac{20x}{6x + 5y}\)
\(\frac{2x}{0,6x + 0,5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\)
\(\frac{20x}{6x + 5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\) – верно.

б) \(\frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 — 0,64x^2} = \frac{50}{9a — 8x}\)
\(\frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a — 0,8x)(0,9a + 0,8x)} = \frac{50}{9a — 8x}\)
\(\frac{50}{(0,9a — 0,8x)(9a — 8x)} = \frac{50}{9a — 8x}\)
\(\frac{50}{9a — 8x} = \frac{50}{9a — 8x}\) – верно.

а) Рассмотрим выражение \(\frac{1,2x^2 — xy}{0,36x^2 — 0,25y^2}\). В числителе можно вынести общий множитель \(x\), так как оба слагаемых содержат его: \(1,2x^2 — xy = x(1,2x — y)\). В знаменателе заметим, что выражение \(0,36x^2 — 0,25y^2\) представляет разность квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = 0,6x\), \(b = 0,5y\), значит знаменатель равен \((0,6x — 0,5y)(0,6x + 0,5y)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{x(1,2x — y)}{(0,6x — 0,5y)(0,6x + 0,5y)}\).

Далее заметим, что числитель можно переписать как \(2x(0,6x — 0,5y)\), поскольку \(1,2x — y = 2(0,6x — 0,5y)\). Тогда дробь преобразуется к виду \(\frac{2x(0,6x — 0,5y)}{(0,6x — 0,5y)(0,6x + 0,5y)}\). Сокращая общий множитель \(0,6x — 0,5y\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{2x}{0,6x + 0,5y}\). Чтобы привести эту дробь к виду, аналогичному правой части исходного равенства, умножим числитель и знаменатель на 10: \(\frac{20x}{6x + 5y}\). Это совпадает с правой частью, значит равенство верно.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 — 0,64x^2}\). В числителе вынесем множитель 0,5: \(4,5a + 4x = 5(0,9a + 0,8x)\). В знаменателе видим разность квадратов: \(0,81a^2 — 0,64x^2 = (0,9a)^2 — (0,8x)^2 = (0,9a — 0,8x)(0,9a + 0,8x)\). Тогда дробь примет вид \(\frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a — 0,8x)(0,9a + 0,8x)}\).

Сокращаем множитель \(0,9a + 0,8x\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{5}{0,9a — 0,8x}\). Правая часть равенства — \(\frac{50}{9a — 8x}\). Чтобы привести левую часть к этому виду, умножим числитель и знаменатель на 10: \(\frac{50}{9a — 8x}\). Таким образом, равенство подтверждается, что и требовалось доказать.