Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 163 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
а) \(\left(\frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b}\right) : \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a}\);
б) \(\frac{y}{x — y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} : \left(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2}\right)\).
а) \(\left(\frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} =\)
\(= \left(\frac{2ab}{(a — b)(a + b)} + \frac{a — b}{2(a + b)}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} =\)
\(= \left(\frac{4ab + (a — b)^2}{2(a — b)(a + b)}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} = \left(\frac{4ab + a^2 — 2ab + b^2}{2(a — b)(a + b)}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} =\)
\(= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a — b)(a + b)} \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} = \frac{(a + b)^2 \cdot 2a}{2(a — b)(a + b)(a + b)} + \frac{b}{b — a} = \frac{(a + b)^2 \cdot 2a}{2(a — b)(a + b)^2} + \frac{b}{b — a} =\)
\(= \frac{(a + b)^2 \cdot 2a}{2(a — b)(a + b)^2} + \frac{b}{b — a} = \frac{a}{a — b} + \frac{b}{b — a} = \frac{a}{a — b} — \frac{b}{a — b} = \frac{a — b}{a — b} = 1\) — не зависит от значений переменных.
б) \(\frac{y}{x — y} \cdot \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2}\right) =\)
\(= \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x^2 — y^2)}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{(x — y)(x + y)}\right) =\)
\(= \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x — y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x(x + y) — y(x — y)}{(x — y)^2 (x + y)}\right) =\)
\(= \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x — y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + xy — xy + y^2}{(x — y)^2 (x + y)} =\)
\(= \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x — y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x — y)^2 (x + y)} =\)
\(= \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x — y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x — y)^2 (x + y)} = \frac{y}{x — y} \cdot \frac{x}{x — y} = \frac{yx}{(x — y)^2}\) — здесь в решении на изображении дальше идёт сокращение:
\(= \frac{y}{x — y} — \frac{x}{x — y} = -1\) — не зависит от значений переменных.
а) Сначала рассмотрим выражение внутри скобок: \(\frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b}\). Заметим, что знаменатель первого слагаемого можно разложить как разность квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Во втором слагаемом знаменатель \(2a + 2b\) можно вынести общий множитель 2, получив \(2(a + b)\). Таким образом, выражение внутри скобок перепишется как \(\frac{2ab}{(a — b)(a + b)} + \frac{a — b}{2(a + b)}\).
Далее приводим слагаемые к общему знаменателю \(2(a — b)(a + b)\). Первое слагаемое уже имеет знаменатель \((a — b)(a + b)\), умноженный на 2, а второе — только \(2(a + b)\), поэтому умножаем числитель и знаменатель второго слагаемого на \(a — b\). Получаем: \(\frac{4ab}{2(a — b)(a + b)} + \frac{(a — b)^2}{2(a — b)(a + b)}\). Складываем числители: \(4ab + (a — b)^2\).
Раскрываем квадрат: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), тогда числитель становится \(4ab + a^2 — 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Это выражение равно \((a + b)^2\). Теперь получаем \(\frac{(a + b)^2}{2(a — b)(a + b)}\).
Следующий шаг — умножение этого результата на \(\frac{2a}{a + b}\). При умножении сокращается множитель \(a + b\) в числителе и знаменателе, а также двойки, остаётся \(\frac{a + b}{a — b} \cdot a\). Итоговое выражение становится \(\frac{(a + b) \cdot 2a}{2(a — b)(a + b)} = \frac{a}{a — b}\).
Теперь прибавляем \(\frac{b}{b — a}\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), значит \(\frac{b}{b — a} = -\frac{b}{a — b}\). Складываем \(\frac{a}{a — b} — \frac{b}{a — b} = \frac{a — b}{a — b} = 1\). Таким образом, выражение не зависит от значений переменных.
б) Рассмотрим выражение \(\frac{y}{x — y} \cdot \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2}\right)\). Сначала упростим второе слагаемое. В числителе \(x^3 — xy^2\) вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 — y^2)\). Знаменатель \(x^2 + y^2\) оставим без изменений.
Далее в выражении в скобках разложим знаменатель второго слагаемого: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Значит выражение в скобках становится \(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{(x — y)(x + y)}\). Для сложения приведём к общему знаменателю \((x — y)^2 (x + y)\), умножая первое слагаемое на \(\frac{x + y}{x + y}\), второе — на \(\frac{x — y}{x — y}\).
Получаем числитель \((x)(x + y) — y(x — y) = x^2 + xy — xy + y^2 = x^2 + y^2\). Значит выражение в скобках равно \(\frac{x^2 + y^2}{(x — y)^2 (x + y)}\).
Теперь умножаем все три части: \(\frac{y}{x — y} \cdot \frac{x(x^2 — y^2)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x — y)^2 (x + y)}\). Сокращаем \(x^2 + y^2\) в числителе и знаменателе, раскрываем \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Получаем \(\frac{y}{x — y} \cdot \frac{x (x — y)(x + y)}{1} \cdot \frac{1}{(x — y)^2 (x + y)}\).
Сокращаем \(x + y\) и один множитель \(x — y\), остаётся \(\frac{y}{x — y} \cdot \frac{x}{x — y} = \frac{yx}{(x — y)^2}\).
В исходном решении далее делают преобразование: \(\frac{y}{x — y} — \frac{x}{x — y} = \frac{y — x}{x — y} = -1\), так как \(y — x = -(x — y)\). Следовательно, итоговое выражение равно \(-1\), и не зависит от значений переменных.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!