Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 164 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения
\(\left(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}\right) : \left(\frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3}\right)\)
является натуральным числом.
\(\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right) = \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3 \cdot 3 — 3n + n^2}{3n^2} =\)
\(= \frac{(3 + n)(9 — 3n + n^2) \cdot 3n^2}{3n^2 \cdot (9 — 3n + n^2)} = 3 + n.\)
Так как \(n\) — натуральное число, и 3 — тоже натуральное число, то выражение \(3 + n\) — натуральное число.
Рассмотрим выражение \(\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right)\). Для начала нужно привести каждую часть к общему знаменателю и упростить. В числителе первой дроби общий знаменатель — \(3n^2\), поэтому складываем:
\(\frac{9}{n^2} = \frac{27}{3n^2}\), а \(\frac{n}{3} = \frac{n^3}{3n^2}\).
Складывая, получаем \(\frac{27 + n^3}{3n^2}\).
Во второй части выражения — делителе — нужно проделать то же самое. Приводим к общему знаменателю \(3n^2\):
\(\frac{3}{n^2} = \frac{9}{3n^2}\), \(\frac{1}{n} = \frac{3n}{3n^2}\), \(\frac{1}{3} = \frac{n^2}{3n^2}\).
Таким образом, выражение под делением становится \(\frac{9 — 3n + n^2}{3n^2}\).
Теперь деление двух дробей превращается в умножение первой дроби на обратную вторую:
\(\frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 — 3n + n^2}\). Здесь \(3n^2\) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся:
\(\frac{27 + n^3}{9 — 3n + n^2}\).
Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Числитель \(27 + n^3\) — сумма кубов, раскладывается как \((3 + n)(9 — 3n + n^2)\). Знаменатель уже в виде \((9 — 3n + n^2)\). При сокращении одинаковых множителей получаем \(3 + n\).
Поскольку \(n\) — натуральное число, а 3 — натуральное число, сумма \(3 + n\) также является натуральным числом. Это доказывает, что исходное выражение принимает натуральные значения при натуральных \(n\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!