ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 164 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения
\(\left(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}\right) : \left(\frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3}\right)\)
является натуральным числом.

\(\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right) = \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3 \cdot 3 — 3n + n^2}{3n^2} =\)
\(= \frac{(3 + n)(9 — 3n + n^2) \cdot 3n^2}{3n^2 \cdot (9 — 3n + n^2)} = 3 + n.\)

Так как \(n\) — натуральное число, и 3 — тоже натуральное число, то выражение \(3 + n\) — натуральное число.

Рассмотрим выражение \(\left( \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} \right) : \left( \frac{3}{n^2} — \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \right)\). Для начала нужно привести каждую часть к общему знаменателю и упростить. В числителе первой дроби общий знаменатель — \(3n^2\), поэтому складываем:
\(\frac{9}{n^2} = \frac{27}{3n^2}\), а \(\frac{n}{3} = \frac{n^3}{3n^2}\).
Складывая, получаем \(\frac{27 + n^3}{3n^2}\).

Во второй части выражения — делителе — нужно проделать то же самое. Приводим к общему знаменателю \(3n^2\):
\(\frac{3}{n^2} = \frac{9}{3n^2}\), \(\frac{1}{n} = \frac{3n}{3n^2}\), \(\frac{1}{3} = \frac{n^2}{3n^2}\).
Таким образом, выражение под делением становится \(\frac{9 — 3n + n^2}{3n^2}\).

Теперь деление двух дробей превращается в умножение первой дроби на обратную вторую:
\(\frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 — 3n + n^2}\). Здесь \(3n^2\) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся:
\(\frac{27 + n^3}{9 — 3n + n^2}\).

Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Числитель \(27 + n^3\) — сумма кубов, раскладывается как \((3 + n)(9 — 3n + n^2)\). Знаменатель уже в виде \((9 — 3n + n^2)\). При сокращении одинаковых множителей получаем \(3 + n\).

Поскольку \(n\) — натуральное число, а 3 — натуральное число, сумма \(3 + n\) также является натуральным числом. Это доказывает, что исходное выражение принимает натуральные значения при натуральных \(n\).