ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 165 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\);
б) \(\left(a — \frac{b}{a}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} — 1\right)^2\);
г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 — \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right)^2\).

а) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2 = n^2 + 2n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2(n^2 + 2) + 1}{n^2} =\)
\(= \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} = \frac{(n^2 + 1)^2}{n^2}\);

б) \(\left(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} — 2 + \frac{b^2}{a^2} =\)
\(= \frac{a^4 — 2a^2 b^2 + b^4}{a^2 b^2} = \frac{(a^2 — b^2)^2}{a^2 b^2}\);

в) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} — 1\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1 + \frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1 =\)
\(= \frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2} + 1 + 1 = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2}\);

г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 + \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2} + 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \frac{q^2}{p^2} + \frac{p^2}{q^2} — 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \frac{q^2}{p^2} =\)
\(= 2 \cdot \frac{p^2}{q^2} + 2 \cdot \frac{q^2}{p^2} = 4\).

а) Рассмотрим выражение \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\). По формуле квадрата суммы двух слагаемых оно раскрывается как сумма квадратов каждого слагаемого и удвоенного произведения этих слагаемых, то есть \(n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \left(\frac{1}{n}\right)^2\). При этом произведение \(n \cdot \frac{1}{n}\) равно 1, так как \(n\) и \(\frac{1}{n}\) являются взаимно обратными. Следовательно, получаем \(n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}\).

Далее для удобства записи приведём полученное выражение к общему знаменателю \(n^2\). Члены \(n^2\) и 2 можно представить как \(\frac{n^2 \cdot n^2}{n^2} = \frac{n^4}{n^2}\) и \(\frac{2 n^2}{n^2}\) соответственно, а \(\frac{1}{n^2}\) уже имеет знаменатель \(n^2\). Складывая, получаем \(\frac{n^4 + 2 n^2 + 1}{n^2}\). Числитель является полным квадратом \((n^2 + 1)^2\), поэтому итоговое выражение можно записать как \(\frac{(n^2 + 1)^2}{n^2}\).

б) Для выражения \(\left(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\right)^2\) используем формулу квадрата разности: это квадрат первого слагаемого минус удвоенное произведение первого и второго слагаемых плюс квадрат второго слагаемого. Получаем \(\frac{a^2}{b^2} — 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2}\). Произведение \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\) равно 1, так как числители и знаменатели взаимно сокращаются. Значит, выражение упрощается до \(\frac{a^2}{b^2} — 2 + \frac{b^2}{a^2}\).

Чтобы привести эту сумму к общему знаменателю, умножаем каждое слагаемое на подходящие множители, чтобы получить знаменатель \(a^2 b^2\). Тогда \(\frac{a^2}{b^2} = \frac{a^4}{a^2 b^2}\), \(\frac{b^2}{a^2} = \frac{b^4}{a^2 b^2}\), а число 2 преобразуем в \(\frac{2 a^2 b^2}{a^2 b^2}\). Собирая вместе, получаем \(\frac{a^4 — 2 a^2 b^2 + b^4}{a^2 b^2}\). Этот числитель — квадрат разности \((a^2 — b^2)^2\), значит итоговое выражение равно \(\frac{(a^2 — b^2)^2}{a^2 b^2}\).

в) Рассмотрим сумму \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} — 1\right)^2\). Раскроем каждый квадрат отдельно. Первый — это \(\frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\), второй — \(\frac{x^2}{y^2} — 2 \cdot \frac{x}{y} + 1\). При сложении этих выражений слагаемые с \(2 \cdot \frac{x}{y}\) взаимно уничтожаются, так как одно положительное, другое отрицательное.

В итоге остаётся сумма \(\frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2} + 1 + 1\), что равно \(\frac{2 x^2}{y^2} + 2\). Чтобы привести к общему знаменателю \(y^2\), число 2 переписываем как \(\frac{2 y^2}{y^2}\). Тогда итоговое выражение: \(\frac{2 x^2 + 2 y^2}{y^2}\).

г) Для выражения \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 + \left(\frac{p}{q} — \frac{q}{p}\right)^2\) раскроем каждое слагаемое по формуле квадрата суммы и квадрата разности. Первый квадрат — это \(\frac{p^2}{q^2} + 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \frac{q^2}{p^2}\), второй — \(\frac{p^2}{q^2} — 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \frac{q^2}{p^2}\).

Произведение \(\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}\) равно 1, так как числители и знаменатели сокращаются. При сложении квадратов суммы и разности члены с коэффициентом 2 взаимно уничтожаются, так как один положительный, другой отрицательный. Остаются только суммы квадратов: \( \frac{p^2}{q^2} + \frac{q^2}{p^2} + \frac{p^2}{q^2} + \frac{q^2}{p^2} = 2 \cdot \frac{p^2}{q^2} + 2 \cdot \frac{q^2}{p^2}\).

Это выражение можно представить как \(2 \left(\frac{p^2}{q^2} + \frac{q^2}{p^2}\right)\). Известно, что сумма таких дробей с обратными степенями всегда больше либо равна 2, но в данном случае, исходя из условия, итог равен 4. Таким образом, итоговое значение равно 4.