ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 166 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{1 — \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\);
б) \(\frac{2a — b}{2a + b} : \frac{b}{b — 1}\);
в) \(\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} — \frac{y}{x}}\);
г) \(\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}\).

а) \(1 — \frac{1}{x} = \frac{x — 1}{x}, \quad 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}, \quad \frac{1 — \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x — 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{x — 1}{x + 1}\).

б) \(\frac{\frac{2a — b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} — 1} = \frac{\frac{2a — b + b}{b}}{\frac{2a + b — b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1\).

в) \(\frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2}} = \frac{\frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2}}{\frac{x^3 — y^3}{x^2 y^2}} = \frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3}\).

г) \(\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c}} = \frac{\frac{bc + ac + ab}{abc}}{\frac{c + a + b}{(a + b)(b + c)(a + c)}} = \frac{bc + ac + ab}{abc} \cdot \frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{c + a + b} = \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\).

а) В этом выражении нужно упростить дробь, в числителе и знаменателе которой стоят выражения с дробями. Сначала преобразуем числитель \(1 — \frac{1}{x}\). Чтобы привести к общему знаменателю, запишем \(1\) как \(\frac{x}{x}\), тогда числитель станет \(\frac{x}{x} — \frac{1}{x} = \frac{x — 1}{x}\). Аналогично для знаменателя \(1 + \frac{1}{x}\) запишем \(1\) как \(\frac{x}{x}\), получим \(\frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}\). Теперь у нас дробь с дробями: \(\frac{\frac{x — 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}}\).

Чтобы упростить такую дробь, делим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению числителя на обратную дробь знаменателя: \(\frac{x — 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}\). Число \(x\) в числителе и знаменателе сокращается, остается \(\frac{x — 1}{x + 1}\). Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{x — 1}{x + 1}\).

б) Здесь необходимо упростить выражение, где в числителе и знаменателе стоят дроби с переменными. В числителе \(\frac{2a — b}{b} + 1\) приводим 1 к общему знаменателю \(b\), получаем \(\frac{2a — b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a — b + b}{b} = \frac{2a}{b}\). В знаменателе \(\frac{2a + b}{b} — 1\) приводим 1 к \(\frac{b}{b}\), получаем \(\frac{2a + b}{b} — \frac{b}{b} = \frac{2a + b — b}{b} = \frac{2a}{b}\).

Теперь дробь равна \(\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}}\). Деление одинаковых дробей равно 1, поэтому результат равен 1.

в) В этом пункте нужно упростить выражение вида дробь, в числителе и знаменателе которой стоят суммы дробей. Сначала рассмотрим числитель: \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}\). Чтобы сложить эти дроби, приводим к общему знаменателю \(x^2 y^2\), тогда первая дробь умножается на \(\frac{x^2}{x^2}\), вторая — на \(\frac{y^2}{y^2}\), и получаем \(\frac{x^3}{x^2 y^2} + \frac{y^3}{x^2 y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2}\).

Аналогично в знаменателе: \(\frac{x}{y^2} — \frac{y}{x^2} = \frac{x^3 — y^3}{x^2 y^2}\). Теперь исходное выражение — это дробь \(\frac{\frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2}}{\frac{x^3 — y^3}{x^2 y^2}}\). При делении дробей знаменатели сокращаются, остается \(\frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3}\).

г) Здесь требуется упростить сложную дробь, в числителе которой сумма обратных величин \(a, b, c\), а в знаменателе — сумма обратных величин сумм пар \(a, b\), \(b, c\), \(a, c\). Сначала приведём числитель к общему знаменателю \(abc\): \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{bc + ac + ab}{abc}\).

Затем рассмотрим знаменатель: \(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c}\). Приведение к общему знаменателю — произведению всех трёх сумм — даёт \(\frac{(b + c)(a + c) + (a + b)(a + c) + (a + b)(b + c)}{(a + b)(b + c)(a + c)}\). Сумма в числителе равна \(c + a + b\) по условию, поэтому знаменатель упрощается до \(\frac{c + a + b}{(a + b)(b + c)(a + c)}\).

Деление числителя на знаменатель — это умножение числителя на обратную дробь знаменателя, то есть \(\frac{bc + ac + ab}{abc} \cdot \frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{c + a + b}\). После сокращений и группировок получается \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\).