ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 167 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде отношения многочленов дробь:
а) \(\frac{2 — \frac{a}{x}}{2 + \frac{a}{x}}\);
б) \(\frac{\frac{a-b}{c} + 3}{\frac{c}{a+b} — 1}\);
в) \(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} — \frac{1}{y}}\);
г) \(\frac{\frac{x-y}{x} \cdot \frac{x}{y}}{\frac{y-x}{y}}\).

а) \(2 — \frac{a}{x} = \frac{2x — a}{x}\),
\(\frac{2x — a}{2 + \frac{a}{x}} = \frac{2x — a}{\frac{2x + a}{x}} = \frac{2x — a}{2x + a} \cdot x = \frac{2x — a}{2x + a}\).

б) \(\frac{a — b}{\frac{c}{a + b}} + 3 = \frac{a — b}{\frac{c}{a + b}} + \frac{3(a + b — c)}{a + b — c} = \frac{(a — b)(a + b)}{c} + \frac{3(a + b — c)}{a + b — c} =\)
\(= \frac{a — b + 3c}{c} \cdot \frac{c}{a + b — c} = \frac{a — b + 3c}{a + b — c}\).

в) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\),
\(\frac{1}{\frac{1}{x} — \frac{1}{y}} = \frac{1}{\frac{y — x}{xy}} = \frac{xy}{y — x}\),
\(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} — \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y + x}{xy}}{\frac{y — x}{xy}} = \frac{y + x}{y — x}\).

г) \(\frac{\frac{x — y}{x} \cdot \frac{x — y}{y}}{\frac{x}{y} — \frac{y}{x}} = \frac{\frac{(x — y)^2}{xy}}{\frac{x^2 — y^2}{xy}} = \frac{(x — y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{(x — y)(x + y)} = \frac{x — y}{x + y}\).

а) Рассмотрим выражение \(2 — \frac{a}{x}\). Чтобы привести его к общему знаменателю, нужно выразить число 2 через дробь с знаменателем \(x\), то есть \(2 = \frac{2x}{x}\). Тогда разность будет выглядеть как \(\frac{2x}{x} — \frac{a}{x} = \frac{2x — a}{x}\). Это позволяет объединить выражение под одной дробью, что упрощает дальнейшие преобразования.

Далее нам нужно разделить полученную дробь \(\frac{2x — a}{x}\) на выражение \(2 + \frac{a}{x}\). Для этого сначала приведём сумму к общему знаменателю: \(2 = \frac{2x}{x}\), тогда сумма \(2 + \frac{a}{x} = \frac{2x + a}{x}\). Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную вторую, то есть \(\frac{2x — a}{x} : \frac{2x + a}{x} = \frac{2x — a}{x} \cdot \frac{x}{2x + a}\). Сокращая \(x\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{2x — a}{2x + a}\).

б) В выражении \(\frac{a — b}{\frac{c}{a + b}} + 3\) сначала упростим дробь в знаменателе: деление на дробь \(\frac{c}{a + b}\) эквивалентно умножению на её обратную, то есть \(\frac{a — b}{\frac{c}{a + b}} = (a — b) \cdot \frac{a + b}{c} = \frac{(a — b)(a + b)}{c}\). Теперь добавим 3, записав его с общим знаменателем: \(3 = \frac{3(a + b — c)}{a + b — c}\), чтобы привести к общему знаменателю \(a + b — c\).

Объединяя выражения, получаем \(\frac{a — b + 3c}{c} \cdot \frac{c}{a + b — c} = \frac{a — b + 3c}{a + b — c}\). Здесь мы воспользовались тем, что произведение дробей с одинаковыми числителем и знаменателем сокращается, что значительно упрощает исходное выражение.

в) Рассмотрим сумму \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\). Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю \(xy\), тогда сумма будет \(\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y + x}{xy}\). Аналогично, разность \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y}\) приводится к виду \(\frac{y — x}{xy}\).

Далее нужно найти выражение \(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} — \frac{1}{y}}\), что является делением двух дробей. Деление дробей сводится к умножению первой дроби на обратную вторую, то есть \(\frac{y + x}{xy} \cdot \frac{xy}{y — x} = \frac{y + x}{y — x}\). Здесь можно видеть, что знаменатели и числители \(xy\) сокращаются, а результат выражается простой дробью от суммы и разности переменных.

г) В выражении \(\frac{\frac{x — y}{x} \cdot \frac{x — y}{y}}{\frac{x}{y} — \frac{y}{x}}\) сначала упростим числитель. Произведение дробей равно \(\frac{(x — y)^2}{xy}\). В знаменателе разность дробей приводится к общему знаменателю \(xy\), что даёт \(\frac{x^2 — y^2}{xy}\).

Теперь делим числитель на знаменатель, то есть умножаем числитель на обратный знаменатель: \(\frac{(x — y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 — y^2}\). Сокращая \(xy\), остаётся \(\frac{(x — y)^2}{x^2 — y^2}\). Заметим, что \(x^2 — y^2\) — это разность квадратов, которую можно разложить как \((x — y)(x + y)\). Тогда дробь примет вид \(\frac{(x — y)^2}{(x — y)(x + y)}\), что сокращается до \(\frac{x — y}{x + y}\).