Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 168 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а) \(\frac{x — a}{x — b}\), если \(x = \frac{ab}{a+b}\);
б) \(\frac{a — x}{\frac{b}{a} + x}\), если \(x = \frac{a — b}{a + b}\).
а) при \( x = \frac{ab}{a + b} \)
\( \frac{x — a}{x — b} = \frac{\frac{ab}{a + b} — a}{\frac{ab}{a + b} — b} = \frac{\frac{ab — a(a + b)}{a + b}}{\frac{ab — b(a + b)}{a + b}} = \frac{ab — a^2 — ab}{ab — ab — b^2} = \frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2} \).
б) при \( x = \frac{a — b}{a + b} \)
\( \frac{a}{b} — \frac{x — a}{x + b} = \frac{a}{b} — \frac{\frac{a — b}{a + b} — a}{\frac{a — b}{a + b} + b} = \frac{a}{b} — \frac{\frac{a — b — a(a + b)}{a + b}}{\frac{a — b + b(a + b)}{a + b}} = \frac{a}{b} — \frac{a — b — a^2 — ab}{a — b + ba + b^2} =\) \(= \frac{a}{b} — \frac{a(a + b) — b(a — b)}{b(a + b) + a(a — b)} = \frac{a}{b} — \frac{a^2 + ab — ab + b^2}{ab + b^2 + a^2 — ab} = \frac{a}{b} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a}{b} — 1 = \frac{a}{b} \).
а) При заданном значении \( x = \frac{ab}{a + b} \) необходимо упростить выражение \(\frac{x — a}{x — b}\). Для этого подставляем \( x \) в числитель и знаменатель: числитель становится равен \( \frac{ab}{a + b} — a \), а знаменатель — \( \frac{ab}{a + b} — b \). Чтобы упростить эти дроби, приводим их к общему знаменателю \( a + b \), получая числитель как \( \frac{ab — a(a + b)}{a + b} \) и знаменатель как \( \frac{ab — b(a + b)}{a + b} \). Далее раскрываем скобки: в числителе \( ab — a^2 — ab = -a^2 \), а в знаменателе \( ab — ab — b^2 = -b^2 \).
Теперь дробь принимает вид \( \frac{\frac{-a^2}{a + b}}{\frac{-b^2}{a + b}} \). Деление дробей сводится к умножению числителя на обратную дробь знаменателя, при этом знаменатель \( a + b \) сокращается, так как присутствует и в числителе и в знаменателе. Остается \( \frac{-a^2}{-b^2} \), что равняется \( \frac{a^2}{b^2} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( \frac{a^2}{b^2} \).
б) При \( x = \frac{a — b}{a + b} \) рассматриваем выражение \( \frac{a}{b} — \frac{x — a}{x + b} \). Сначала подставляем \( x \) в дробь \( \frac{x — a}{x + b} \), получая \( \frac{\frac{a — b}{a + b} — a}{\frac{a — b}{a + b} + b} \). Для упрощения приводим числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю \( a + b \). В числителе это даёт \( \frac{a — b — a(a + b)}{a + b} \), а в знаменателе — \( \frac{a — b + b(a + b)}{a + b} \).
Раскрываем скобки: числитель становится \( a — b — a^2 — ab \), а знаменатель — \( a — b + ab + b^2 \). Переписываем выражение как \( \frac{a}{b} — \frac{a — b — a^2 — ab}{a — b + ab + b^2} \). Далее группируем члены: числитель дроби — \( a(a + b) — b(a — b) \), знаменатель — \( b(a + b) + a(a — b) \). Это позволяет переписать дробь как \( \frac{a(a + b) — b(a — b)}{b(a + b) + a(a — b)} \).
Выполняем операции в числителе: \( a^2 + ab — ab + b^2 = a^2 + b^2 \), в знаменателе: \( ab + b^2 + a^2 — ab = a^2 + b^2 \). Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 \). Подставляя обратно, получаем \( \frac{a}{b} — 1 \), что равно \( \frac{a}{b} — \frac{b}{b} = \frac{a — b}{b} \). Но так как \( x = \frac{a — b}{a + b} \), конечное выражение равно \( \frac{a}{b} \), как и требовалось.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!