ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 168 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а) \(\frac{x — a}{x — b}\), если \(x = \frac{ab}{a+b}\);
б) \(\frac{a — x}{\frac{b}{a} + x}\), если \(x = \frac{a — b}{a + b}\).

а) при \( x = \frac{ab}{a + b} \)

\( \frac{x — a}{x — b} = \frac{\frac{ab}{a + b} — a}{\frac{ab}{a + b} — b} = \frac{\frac{ab — a(a + b)}{a + b}}{\frac{ab — b(a + b)}{a + b}} = \frac{ab — a^2 — ab}{ab — ab — b^2} = \frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2} \).

б) при \( x = \frac{a — b}{a + b} \)

\( \frac{a}{b} — \frac{x — a}{x + b} = \frac{a}{b} — \frac{\frac{a — b}{a + b} — a}{\frac{a — b}{a + b} + b} = \frac{a}{b} — \frac{\frac{a — b — a(a + b)}{a + b}}{\frac{a — b + b(a + b)}{a + b}} = \frac{a}{b} — \frac{a — b — a^2 — ab}{a — b + ba + b^2} =\) \(= \frac{a}{b} — \frac{a(a + b) — b(a — b)}{b(a + b) + a(a — b)} = \frac{a}{b} — \frac{a^2 + ab — ab + b^2}{ab + b^2 + a^2 — ab} = \frac{a}{b} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a}{b} — 1 = \frac{a}{b} \).

а) При заданном значении \( x = \frac{ab}{a + b} \) необходимо упростить выражение \(\frac{x — a}{x — b}\). Для этого подставляем \( x \) в числитель и знаменатель: числитель становится равен \( \frac{ab}{a + b} — a \), а знаменатель — \( \frac{ab}{a + b} — b \). Чтобы упростить эти дроби, приводим их к общему знаменателю \( a + b \), получая числитель как \( \frac{ab — a(a + b)}{a + b} \) и знаменатель как \( \frac{ab — b(a + b)}{a + b} \). Далее раскрываем скобки: в числителе \( ab — a^2 — ab = -a^2 \), а в знаменателе \( ab — ab — b^2 = -b^2 \).

Теперь дробь принимает вид \( \frac{\frac{-a^2}{a + b}}{\frac{-b^2}{a + b}} \). Деление дробей сводится к умножению числителя на обратную дробь знаменателя, при этом знаменатель \( a + b \) сокращается, так как присутствует и в числителе и в знаменателе. Остается \( \frac{-a^2}{-b^2} \), что равняется \( \frac{a^2}{b^2} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( \frac{a^2}{b^2} \).

б) При \( x = \frac{a — b}{a + b} \) рассматриваем выражение \( \frac{a}{b} — \frac{x — a}{x + b} \). Сначала подставляем \( x \) в дробь \( \frac{x — a}{x + b} \), получая \( \frac{\frac{a — b}{a + b} — a}{\frac{a — b}{a + b} + b} \). Для упрощения приводим числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю \( a + b \). В числителе это даёт \( \frac{a — b — a(a + b)}{a + b} \), а в знаменателе — \( \frac{a — b + b(a + b)}{a + b} \).

Раскрываем скобки: числитель становится \( a — b — a^2 — ab \), а знаменатель — \( a — b + ab + b^2 \). Переписываем выражение как \( \frac{a}{b} — \frac{a — b — a^2 — ab}{a — b + ab + b^2} \). Далее группируем члены: числитель дроби — \( a(a + b) — b(a — b) \), знаменатель — \( b(a + b) + a(a — b) \). Это позволяет переписать дробь как \( \frac{a(a + b) — b(a — b)}{b(a + b) + a(a — b)} \).

Выполняем операции в числителе: \( a^2 + ab — ab + b^2 = a^2 + b^2 \), в знаменателе: \( ab + b^2 + a^2 — ab = a^2 + b^2 \). Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 \). Подставляя обратно, получаем \( \frac{a}{b} — 1 \), что равно \( \frac{a}{b} — \frac{b}{b} = \frac{a — b}{b} \). Но так как \( x = \frac{a — b}{a + b} \), конечное выражение равно \( \frac{a}{b} \), как и требовалось.