ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 169 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а) \(\frac{a + b}{a — b}\), если \(a = \frac{1}{1 — x}\), \(b = \frac{1}{1 + x}\);
б) \(\frac{ax}{a + x} — \frac{bx}{b — x}\), если \(x = \frac{ab}{a — b}\).

а) при \( a = \frac{1}{1-x} \), \( b = \frac{1}{1+x} \)
\(\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} — \frac{1}{1+x}} = \frac{\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}}{\frac{1+x-1+x}{(1-x)(1+x)}} = \frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}} = \frac{1}{x}\)

б) при \( x = \frac{ab}{a-b} \)
\(\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x} = \frac{a \left(\frac{ab}{a-b}\right)}{a + \frac{ab}{a-b}} — \frac{b \left(\frac{ab}{a-b}\right)}{b — \frac{ab}{a-b}} = \frac{\frac{a^2 b}{a-b}}{a + \frac{ab}{a-b}} — \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{b — \frac{ab}{a-b}} =\)
\(= \frac{\frac{a^2 b}{a-b}}{\frac{a(a-b)+ab}{a-b}} — \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{b(a-b)-ab}{a-b}} = \frac{a^2 b}{a(a-b)+ab} — \frac{ab^2}{b(a-b)-ab} =\)
\(= \frac{a^2 b}{a^2 — ab + ab} — \frac{ab^2}{ab — b^2 — ab} = \frac{a^2 b}{a^2} — \frac{ab^2}{-b^2} = b + a\)

а) При заданных условиях \( a = \frac{1}{1-x} \) и \( b = \frac{1}{1+x} \) требуется найти значение выражения \(\frac{a+b}{a-b}\). Для этого сначала записываем сумму и разность в числителе и знаменателе дроби: \( a+b = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} \), \( a-b = \frac{1}{1-x} — \frac{1}{1+x} \). Чтобы сложить и вычесть дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю, которым является произведение \((1-x)(1+x) = 1 — x^2\). После приведения получается \( a+b = \frac{1+x + 1 — x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x^2} \) и \( a-b = \frac{1+x — (1 — x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2x}{1-x^2} \).

Далее подставляем полученные выражения в исходную дробь: \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}}\). При делении дробей знаменатель первой умножается на обратную дробь второй, и общий знаменатель сокращается: \(\frac{2}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^2}{2x} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}\). Таким образом, окончательный результат равен \(\frac{1}{x}\).

б) При условии \( x = \frac{ab}{a-b} \) нужно упростить выражение \(\frac{ax}{a+x} — \frac{bx}{b-x}\). Сначала подставляем значение \( x \) в числители и знаменатели дробей: \( \frac{a \cdot \frac{ab}{a-b}}{a + \frac{ab}{a-b}} — \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{b — \frac{ab}{a-b}} \). Чтобы упростить, приводим знаменатели к общему виду, используя свойство сложения дробей: \( a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b) + ab}{a-b} = \frac{a^2 — ab + ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b} \), аналогично \( b — \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b) — ab}{a-b} = \frac{ab — b^2 — ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b} \).

Теперь переписываем исходное выражение с упрощёнными знаменателями: \(\frac{\frac{a^2 b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} — \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{a^2 b}{a^2} — \frac{ab^2}{-b^2} = b + a\). Здесь при делении дробей сокращаются множители \(a-b\), а также сокращаются степени в числителях и знаменателях, что и приводит к простому результату \( b + a \).