ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 17 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Определите знак дроби \(\frac{a}{b}\), если известно, что:
а) \(a > 0\) и \(b > 0\);
б) \(a > 0\) и \(b < 0\); в) \(a < 0\) и \(b > 0\);
г) \(a < 0\) и \(b < 0\).

а) \( a > 0, b > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > 0 \)

б) \( a > 0, b < 0 \Rightarrow \frac{a}{b} < 0 \) в) \( a < 0, b > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} < 0 \) г) \( a < 0, b < 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > 0 \)

а) Если \(a > 0\) и \(b > 0\), то обе величины положительны. При делении положительного числа на положительное результат всегда положителен, так как знак делимого и делителя совпадает. Следовательно, дробь \(\frac{a}{b}\) будет больше нуля, то есть \(\frac{a}{b} > 0\). Это происходит потому, что положительное число, разделённое на положительное, сохраняет знак «плюс».

Такое правило можно объяснить через свойства чисел на числовой оси: деление двух положительных чисел не меняет направление знака, поэтому результат лежит в положительной части оси. Таким образом, если и числитель, и знаменатель положительны, их отношение не может быть отрицательным или нулём.

б) При условии, что \(a > 0\), а \(b < 0\), числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Деление положительного числа на отрицательное всегда даёт отрицательное число, так как знаки числителя и знаменателя различны. Следовательно, \(\frac{a}{b} < 0\). Это связано с тем, что знак результата деления определяется знаком делимого и делителя: если они разные, результат отрицателен. Таким образом, дробь с положительным числителем и отрицательным знаменателем всегда будет иметь отрицательное значение. Это отражает правило умножения и деления чисел с разными знаками: знак результата противоположен знаку каждого из множителей. в) Если \(a < 0\) и \(b > 0\), числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Деление отрицательного числа на положительное даёт отрицательное число, поскольку знак результата определяется разностью знаков числителя и знаменателя. Значит, \(\frac{a}{b} < 0\). Это объясняется тем, что отрицательное число, делённое на положительное, остаётся отрицательным, так как знак делимого и делителя не совпадает. На числовой оси результат будет лежать слева от нуля, что соответствует отрицательному значению. г) При \(a < 0\) и \(b < 0\) и числитель, и знаменатель отрицательны. Деление отрицательного числа на отрицательное даёт положительное число, так как два минуса при делении взаимно компенсируются. Следовательно, \(\frac{a}{b} > 0\).

Это правило следует из свойств знаков: при делении двух отрицательных чисел результат всегда положителен, потому что знак дроби определяется произведением знаков числителя и знаменателя. На числовой оси результат будет находиться справа от нуля, что означает положительное число.