ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 170 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{a^2}{4} : \frac{b^2}{9}\), при \(a = \frac{2}{3}\), \(b = -\frac{1}{2}\);
б) \(\frac{0,2a — b}{\frac{a^2}{25} — b^2}\), при \(a = -8\), \(b = 0,6\).

а) \(\frac{\frac{a^2}{4} — \frac{b^2}{9}}{\frac{a}{12} + \frac{b}{18}} = \frac{\frac{9a^2 — 4b^2}{36}}{\frac{3a + 2b}{36}} = \frac{(3a — 2b)(3a + 2b)}{36} \cdot \frac{36}{3a + 2b} = 3a — 2b,\)
при \(a = \frac{2}{3}, b = -\frac{1}{2}:\)
\(3a — 2b = 3 \cdot \frac{2}{3} — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 + 1 = 3.\)

б) \( \frac{0{,}2a — b}{\frac{a^2}{25} — b^2} = \frac{0{,}2a — b}{\frac{a^2 — 25b^2}{25}} = \frac{0{,}2a — b}{\frac{(a — 5b)(a + 5b)}{25}} = \frac{(0{,}2a — b) \cdot 25}{(a — 5b)(a + 5b)} = \frac{\frac{a}{5} — b}{(a — 5b)(a + 5b)} \cdot 25 =\) \(= \frac{a — 5b}{5(a + 5b)},\)
при \(a = -8, b = 0{,}6:\)
\(\frac{5}{a + 5b} = \frac{5}{-8 + 5 \cdot 0{,}6} = \frac{5}{-8 + 3} = \frac{5}{-5} = -1.\)

а) В данном выражении сначала рассматриваем числитель дроби: \(\frac{a^2}{4} — \frac{b^2}{9}\). Чтобы привести его к общему знаменателю, умножаем каждую часть на подходящий множитель, получая дробь с знаменателем 36: \(\frac{9a^2}{36} — \frac{4b^2}{36} = \frac{9a^2 — 4b^2}{36}\). Аналогично приводим знаменатель \(\frac{a}{12} + \frac{b}{18}\) к общему знаменателю 36: \(\frac{3a}{36} + \frac{2b}{36} = \frac{3a + 2b}{36}\).

Далее выражение превращается в дробь с дробями: \(\frac{\frac{9a^2 — 4b^2}{36}}{\frac{3a + 2b}{36}}\). Деление на дробь заменяем умножением на её обратную: \(\frac{9a^2 — 4b^2}{36} \cdot \frac{36}{3a + 2b} = \frac{9a^2 — 4b^2}{3a + 2b}\). Числитель раскладываем по формуле разности квадратов: \(9a^2 — 4b^2 = (3a — 2b)(3a + 2b)\). Тогда выражение упрощается до \(\frac{(3a — 2b)(3a + 2b)}{3a + 2b}\), где сокращаем общий множитель \(3a + 2b\), оставаясь с \(3a — 2b\).

Подставляем значения \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{2}\) в полученное выражение \(3a — 2b\). Вычисляем: \(3 \cdot \frac{2}{3} = 2\), а \( -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1\). Складываем: \(2 + 1 = 3\). Таким образом, итоговое значение равно 3.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{0{,}2a — b}{\frac{a^2}{25} — b^2}\). В знаменателе видим разность квадратов, которую раскладываем по формуле: \(\frac{a^2}{25} — b^2 = \frac{a^2 — 25b^2}{25} = \frac{(a — 5b)(a + 5b)}{25}\). Тогда исходная дробь становится \(\frac{0{,}2a — b}{\frac{(a — 5b)(a + 5b)}{25}} = (0{,}2a — b) \cdot \frac{25}{(a — 5b)(a + 5b)}\).

Числитель \(0{,}2a — b\) можно переписать как \(\frac{a}{5} — b\), поскольку \(0{,}2 = \frac{1}{5}\). Подставляя это, получаем \(\frac{\frac{a}{5} — b}{(a — 5b)(a + 5b)} \cdot 25\). Чтобы упростить, домножаем числитель и знаменатель на 5, что даёт \(\frac{a — 5b}{5(a + 5b)}\).

Теперь подставляем \(a = -8\) и \(b = 0{,}6\) в выражение \(\frac{5}{a + 5b}\). Считаем знаменатель: \(-8 + 5 \cdot 0{,}6 = -8 + 3 = -5\). Следовательно, дробь равна \(\frac{5}{-5} = -1\). Это и есть окончательный ответ.