ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 171 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:
а) \(\frac{1}{3 — \frac{1}{x-2}}\);
б) \(\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}\)?
1) Обсудите, о каких значениях переменной \(x\) в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения \(x\), которые не являются допустимыми?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

а) \( \frac{1}{3 — \frac{1}{x-2}} \)

1) Сразу можно сказать, что выражение имеет смысл при:
\( x — 2 \neq 0 \)
\( x \neq 2 \).

Упростим выражение:
\( \frac{1}{3 — \frac{1}{x-2}} = \frac{1}{\frac{3(x-2) — 1}{x-2}} = \frac{1}{\frac{3x — 6 — 1}{x-2}} = \frac{1}{\frac{3x — 7}{x-2}} = \frac{x-2}{3x — 7} \).

Значит, оно также имеет смысл при:
\( 3x — 7 \neq 0 \)
\( 3x \neq 7 \)
\( x \neq \frac{7}{3} \)
\( x \neq 2 \frac{1}{3} \).

Ответ: \( x \neq 2, \quad x \neq 2 \frac{1}{3} \).

б) \( \frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}} \)

1) Сразу можно сказать, что выражение имеет смысл при:
\( x + 8 \neq 0 \)
\( x \neq -8 \).

Упростим выражение:
\( \frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}} = \frac{6x}{\frac{2(x+8) + 1}{x+8}} = \frac{6x}{\frac{2x + 16 + 1}{x+8}} = \frac{6x}{\frac{2x + 17}{x+8}} = \frac{6x(x+8)}{2x + 17} \).

Значит, оно также имеет смысл при:
\( 2x + 17 \neq 0 \)
\( 2x \neq -17 \)
\( x \neq -\frac{17}{2} \)
\( x \neq -8,5 \).

Ответ: \( x \neq -8, \quad x \neq -8,5 \).

а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{3 — \frac{1}{x-2}} \). Первым делом необходимо определить область допустимых значений переменной \(x\), при которых выражение имеет смысл. Поскольку в знаменателе стоит выражение \(x-2\), оно не может быть равно нулю, иначе возникнет деление на ноль, что запрещено. Значит, \(x \neq 2\). Это первое ограничение на \(x\).

Далее упростим само выражение. Для этого приведём выражение в знаменателе к общему знаменателю: \(3 — \frac{1}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} — \frac{1}{x-2} = \frac{3(x-2) — 1}{x-2} = \frac{3x — 6 — 1}{x-2} = \frac{3x — 7}{x-2}\). Тогда исходное выражение перепишется как \( \frac{1}{\frac{3x — 7}{x-2}} \), что равносильно \( \frac{x-2}{3x — 7} \). Теперь необходимо проверить, чтобы знаменатель \(3x — 7\) не был равен нулю, иначе выражение не будет иметь смысла. Значит, \(3x — 7 \neq 0\), откуда \(x \neq \frac{7}{3}\) или \(x \neq 2 \frac{1}{3}\).

Итоговые ограничения на \(x\) — это объединение двух условий: \(x \neq 2\) и \(x \neq 2 \frac{1}{3}\). Таким образом, область допустимых значений — все числа, кроме этих двух. Ответ: \(x \neq 2, \quad x \neq 2 \frac{1}{3}\).

б) Рассмотрим выражение \( \frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}} \). Для начала определим область допустимых значений \(x\). В знаменателе стоит выражение \(x+8\), оно не должно равняться нулю, так как в противном случае будет деление на ноль. Значит, \(x \neq -8\). Это первое условие.

Далее упростим выражение. Приведём знаменатель к общему знаменателю: \(2 + \frac{1}{x+8} = \frac{2(x+8)}{x+8} + \frac{1}{x+8} = \frac{2(x+8) + 1}{x+8} = \frac{2x + 16 + 1}{x+8} = \frac{2x + 17}{x+8}\). Теперь исходное выражение можно переписать как \( \frac{6x}{\frac{2x + 17}{x+8}} = \frac{6x (x+8)}{2x + 17} \). Чтобы выражение имело смысл, знаменатель \(2x + 17\) не должен равняться нулю, значит \(2x + 17 \neq 0\), откуда \(x \neq -\frac{17}{2}\) или \(x \neq -8,5\).

Итоговые ограничения на \(x\) — это объединение двух условий: \(x \neq -8\) и \(x \neq -8,5\). Таким образом, область допустимых значений — все числа, кроме этих двух. Ответ: \(x \neq -8, \quad x \neq -8,5\).