ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 18 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
а) \(\frac{3}{x^2 + 1}\) положительно;
б) \(\frac{-5}{y^2 + 4}\) отрицательно;
в) \(\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 10}\) неотрицательно;
г) \(\frac{(b — 3)^2}{-6^2 — 1}\) неположительно.

а) \( \frac{3}{x^2 + 1} > 0 \), так как \(3 > 0\) и \(x^2 + 1 > 0\).
б) \( \frac{-5}{y^2 + 4} < 0 \), так как \(-5 < 0\) и \(y^2 + 4 > 0\).
в) \( \frac{(a-1)^2}{a^2 + 10} \geq 0 \), так как \((a-1)^2 \geq 0\) и \(a^2 + 10 > 0\).
г) \( \frac{(b-3)^2}{-b^2 — 1} \leq 0 \), так как \((b-3)^2 \geq 0\) и \(-b^2 — 1 < 0\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{3}{x^2 + 1}\). В числителе стоит число 3, которое положительно, то есть \(3 > 0\). В знаменателе находится выражение \(x^2 + 1\). Так как квадрат любого числа неотрицателен, \(x^2 \geq 0\), а к нему прибавляется 1, знаменатель всегда положителен, то есть \(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\). Поскольку числитель и знаменатель положительны, дробь \(\frac{3}{x^2 + 1}\) будет положительной для всех значений \(x\). Следовательно, неравенство \(\frac{3}{x^2 + 1} > 0\) верно для всех \(x\).

б) Рассмотрим дробь \(\frac{-5}{y^2 + 4}\). Числитель равен \(-5\), что меньше нуля: \(-5 < 0\). Знаменатель — \(y^2 + 4\), где \(y^2 \geq 0\) для любого \(y\), а прибавка 4 гарантирует, что знаменатель всегда положителен: \(y^2 + 4 > 0\). Таким образом, числитель отрицателен, а знаменатель положителен, значит вся дробь отрицательна. Отсюда следует, что \(\frac{-5}{y^2 + 4} < 0\) для всех значений \(y\). в) Рассмотрим выражение \(\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}\). Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, \((a-1)^2 \geq 0\) для всех \(a\). Знаменатель содержит сумму квадрата числа и положительного числа 10, поэтому \(a^2 + 10 > 0\) для всех \(a\). Поскольку числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, дробь \(\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}\) неотрицательна. Значит, неравенство \(\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10} \geq 0\) выполняется при любых \(a\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{(b-3)^2}{-b^2 — 1}\). Числитель — квадрат разности, поэтому \((b-3)^2 \geq 0\) для всех \(b\). Знаменатель равен \(-b^2 — 1\), что можно переписать как \(-(b^2 + 1)\). Поскольку \(b^2 \geq 0\), то \(b^2 + 1 > 0\), а значит \(- (b^2 + 1) < 0\). Таким образом, знаменатель всегда отрицателен. Деление неотрицательного числителя на отрицательный знаменатель даёт результат, который меньше или равен нулю. Следовательно, \(\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1} \leq 0\) для всех значений \(b\).