Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 189 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Постройте график функции \( y = \frac{6}{x} \) и, используя его, решите уравнение:
а) \( \frac{6}{x} = x \);
б) \( \frac{6}{x} = -x + 6 \).
а) \(\frac{6}{x} = x\)
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = x
\end{cases} \Rightarrow x = \pm 2,5\)
б) \(\frac{6}{x} = -x + 6\)
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = -x + 6
\end{cases} \Rightarrow x = 1,3 \text{ и } x = 4,7\)
а) Уравнение \(\frac{6}{x} = x\) означает, что значение функции \(y = \frac{6}{x}\) равно значению функции \(y = x\). Чтобы найти точки пересечения этих графиков, приравниваем правые части уравнений и решаем относительно \(x\). Перемножая обе части уравнения на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)), получаем \(6 = x^2\). Это классическое квадратное уравнение, корни которого находятся извлечением квадратного корня из обеих частей. Таким образом, \(x = \pm \sqrt{6}\). Приблизительно \(\sqrt{6} \approx 2,5\), значит \(x = \pm 2,5\).
Далее подставляем найденные значения \(x\) в исходные функции, чтобы получить соответствующие значения \(y\). Для \(x = 2,5\) имеем \(y = 2,5\), а для \(x = -2,5\) — \(y = -2,5\). Таким образом, точки пересечения графиков — это \((2,5; 2,5)\) и \((-2,5; -2,5)\). Эти точки лежат на прямой \(y = x\) и одновременно удовлетворяют гиперболе \(y = \frac{6}{x}\).
В итоге система уравнений
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = x
\end{cases}\)
имеет два решения по \(x\): \(x = 2,5\) и \(x = -2,5\), что соответствует двум точкам пересечения графиков.
б) Рассмотрим уравнение \(\frac{6}{x} = -x + 6\), которое задаёт равенство функции \(y = \frac{6}{x}\) и функции \(y = -x + 6\). Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части и приводим уравнение к стандартному виду. Перемножая обе части на \(x\) при условии \(x \neq 0\), получаем \(6 = -x^2 + 6x\).
Переносим все члены в одну сторону:
\(x^2 — 6x + 6 = 0\). Это квадратное уравнение, где коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 6\). Для нахождения корней используем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 — 24 = 12\).
Корни уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}\).
Приблизительно \(\sqrt{3} \approx 1,7\), значит корни:
\(x_1 = 3 — 1,7 = 1,3\),
\(x_2 = 3 + 1,7 = 4,7\).
Подставляя эти значения \(x\) обратно в уравнения, получаем соответствующие \(y\), которые совпадают для обеих функций, так как они равны по построению. Значит, точки пересечения находятся в точках с абсциссами \(x = 1,3\) и \(x = 4,7\).
Итоговая система
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = -x + 6
\end{cases}\)
имеет два решения по \(x\): \(x = 1,3\) и \(x = 4,7\), что соответствует точкам пересечения графиков данных функций.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!