ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 189 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{6}{x} \) и, используя его, решите уравнение:
а) \( \frac{6}{x} = x \);
б) \( \frac{6}{x} = -x + 6 \).

а) \(\frac{6}{x} = x\)
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = x
\end{cases} \Rightarrow x = \pm 2,5\)

б) \(\frac{6}{x} = -x + 6\)
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = -x + 6
\end{cases} \Rightarrow x = 1,3 \text{ и } x = 4,7\)

а) Уравнение \(\frac{6}{x} = x\) означает, что значение функции \(y = \frac{6}{x}\) равно значению функции \(y = x\). Чтобы найти точки пересечения этих графиков, приравниваем правые части уравнений и решаем относительно \(x\). Перемножая обе части уравнения на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)), получаем \(6 = x^2\). Это классическое квадратное уравнение, корни которого находятся извлечением квадратного корня из обеих частей. Таким образом, \(x = \pm \sqrt{6}\). Приблизительно \(\sqrt{6} \approx 2,5\), значит \(x = \pm 2,5\).

Далее подставляем найденные значения \(x\) в исходные функции, чтобы получить соответствующие значения \(y\). Для \(x = 2,5\) имеем \(y = 2,5\), а для \(x = -2,5\) — \(y = -2,5\). Таким образом, точки пересечения графиков — это \((2,5; 2,5)\) и \((-2,5; -2,5)\). Эти точки лежат на прямой \(y = x\) и одновременно удовлетворяют гиперболе \(y = \frac{6}{x}\).

В итоге система уравнений
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = x
\end{cases}\)
имеет два решения по \(x\): \(x = 2,5\) и \(x = -2,5\), что соответствует двум точкам пересечения графиков.

б) Рассмотрим уравнение \(\frac{6}{x} = -x + 6\), которое задаёт равенство функции \(y = \frac{6}{x}\) и функции \(y = -x + 6\). Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части и приводим уравнение к стандартному виду. Перемножая обе части на \(x\) при условии \(x \neq 0\), получаем \(6 = -x^2 + 6x\).

Переносим все члены в одну сторону:
\(x^2 — 6x + 6 = 0\). Это квадратное уравнение, где коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 6\). Для нахождения корней используем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 — 24 = 12\).
Корни уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}\).

Приблизительно \(\sqrt{3} \approx 1,7\), значит корни:
\(x_1 = 3 — 1,7 = 1,3\),
\(x_2 = 3 + 1,7 = 4,7\).

Подставляя эти значения \(x\) обратно в уравнения, получаем соответствующие \(y\), которые совпадают для обеих функций, так как они равны по построению. Значит, точки пересечения находятся в точках с абсциссами \(x = 1,3\) и \(x = 4,7\).

Итоговая система
\(\begin{cases}
y = \frac{6}{x}, \\
y = -x + 6
\end{cases}\)
имеет два решения по \(x\): \(x = 1,3\) и \(x = 4,7\), что соответствует точкам пересечения графиков данных функций.